Question

四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，∠ADC+∠CBE=180°，求证：2AE=AB+AD.

Answer

见解析

【解析】

过C作CF⊥AD于F，由条件可证△AFC≌△AEC，得到CF=CE．再由条件∠ADC+∠CBE=180°，证△CDF≌△CEB，由全等的性质可得DF=EB，再由线段和差可得.

证明：过C作CF⊥AD于F，

∵AC平分∠BAD，

∴∠FAC=∠EAC，

∵CE⊥AB，CF⊥AD，

∴∠DFC=∠CEB=∠CEA=90°，

∵AC=AC

∴△AFC≌△AEC，

∴AF=AE，CF=CE，

∵∠ADC+∠CBE=180°，∠ADC+∠FDC=180°

∴∠FDC=∠CBE，

∴△FDC≌△EBC，

∴DF=EB，

∴AB+AD=AE+EB+AD=AE+DF+AD=AF+AE=2AE，

∴2AE=AB+AD.