Question

我们知道平行四边形有很多性质，现在如果我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，会发现这其中还有更多的结论．

（发现与证明）在ABCD中，AB≠BC，将△ABC沿AC翻折至△AB′C，连结B′D．

（1）填空：B′E    DE（填“<，＝，>”）；

（2）求证：B′D∥AC；

（应用与探究）

(3)在ABCD中，已知：BC=4，∠B=60°，将△ABC沿AC翻折至△AB′C，连结B′D．若以A、C、D、B′为顶点的四边形是矩形，求AC的长．

Answer

（1）=；（2）见解析；（3）2或4.

【解析】

(1)由平行四边形的性质得出∠EAC=∠ACB，由翻折的性质得出∠ACB=∠ACB′，证出∠EAC=∠ACB'，得出AE=CE；从而DE=B'E

(2)根据等腰三角形的性质得出DE=B'E，证出∠B′DA=(180∘−∠B′ED)，由∠AEC=∠B'ED，得出∠ACB'=∠CB'D，即可得出B'D//AC；
(3)分两种情况：①由矩形的性质得出∠CAB'=90°，得出∠BAC=90°，再由30°直角三角形性质即可求出AC=2；②由矩形的性质和已知条件得出AC=4．

（1）【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD=BC，AD//BC，

∴∠EAC=∠ACB，

∵△ABC≌△AB'C，

∴∠ACB=∠ACB'，BC=B'C，

∴∠EAC=∠ACB'，

∴AE=CE，

∴DE=B′E；

故答案为=.

（2）证明：∵DE=B'E

∴∠C B'D=∠B’DA=(180-∠B'ED)

∵∠AEC=∠B'ED

∴∠AC B'=∠C B'D

∴B'D∥AC

（3）【解析】
情况一：如图1

∵四边形ACDB’是矩形，

∴∠CAB’=90°，

∴∠BAC=90°

∵∠B=60°

∴AC=BC=2

情况二：如图2

∵四边形ACB’D是矩形，

∴∠ACB’=90°

∴∠ACB=90°

∵BC=4，∠B=60°

∴AC=4，

综上所述：ACAC的长为2或4．