Question

已知等腰Rt△ABC和等腰Rt△AED中，∠ACB=∠AED=90°，且AD=AC．

（1）发现：如图1，当点E在AB上且点C和点D重合时，若点M、N分别是DB、EC的中点，则MN与EC的位置关系是________，MN与EC的数量关系是________．   

（2）探究：若把（1）小题中的△AED绕点A顺时针旋转45°得到的图2，连接BD和EC，并连接DB、EC的中点M、N，则MN与EC的位置关系和数量关系仍然能成立吗？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．   

（3）若把（1）小题中的△AED绕点A逆时针旋转45°得到的图3，连接BD和EC，并连接DB、EC的中点M、N，则MN与EC的位置关系和数量关系仍然能成立吗？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．

Answer

（1）MN⊥EC，MN=EC；（2）成立，理由见解析；（3）成立，理由见解析

【解析】

试题（1）根据中位线定理，结合等腰直角三角形性质即可直接得出结论；

（2）连接EM并延长交BC于F，证明△EDM≌△FBM，运用线段的等量代换即可求解；

（3）延长ED交BC于点F，连接AF、MF，结合矩形的性质和等腰直角三角形性质，合理运用角的等量代换即可求解．

【解析】
（1）MN⊥EC，MN=EC；

由等腰Rt△ABC和等腰Rt△AED中，∠ACB=∠AED=90°，

可知，AE=BE=EC，DE⊥AB，

∵点M、N分别是DB、EC的中点，

∴MN∥AB，且MN=BE，

∴MN⊥EC，MN=EC；

（2）如图2

连接EM并延长交BC于F，

∵∠AED=∠ACB=90°，

∴DE∥BC，

∴∠DEM=∠AFM，∠EDM=∠MBF，

又BM=MD，

在△EDM和△FBM中，

，

∴△EDM≌△FBM，

∴BF=DE=AE，EM=FM，

∴MN=FC=（BC﹣BF）=（AC﹣AF）=EC，

且MN⊥EC；

（3）如图3

延长ED交BC于点F，连接AF、MF，则AF为矩形ACFE对角线，所以必经过EC的中点N且AN=NF=EN=NC．

在Rt△BDF中，M是BD的中点，∠B=45°，

∴FD=FB，

∴FM⊥AB，

∴MN=NA=NF=NC，

即MN=EC，

∴∠NAM=∠AMN，∠NAC=∠NCA，

∴∠MNF=∠NAM+∠AMN=2∠NAM，∠FNC=∠NAC+∠NCA=2∠NAC，

∴∠MNC=∠MNF+∠FNC=2∠NAM+2∠NAC=2（∠NAM+∠NAC）=2∠DAC=90°，

∴∠MNC=90°，

即MN⊥FC且MN=EC．