Question

如图1，抛物线y=﹣x²+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣4，0）、B（1，0）两点，与y轴交于C点，对称轴x=﹣，点N（n，0）是线段AB上的一个动点（N与A、B两点不重合），请回答下列问题：

（1）求出抛物线的解析式，并写出C点的坐标；

（2）试求出当n为何值时，△ANC恰能构成是等腰三角形．

（3）如图2，过N作NF∥BC，与AC相交于D点，连结CN，请问在N点的运动过程中，△CDN的面积是否存在最大值；若存在，试求出该最大面积，若不存在，请说明理由．

Answer

（1）y=﹣x2﹣x+2，C（0，2）；（2）当n=2﹣4或﹣时，△ANC是等腰三角形；（3）当n=﹣时，△DCN的面积最大，最大值为．

【解析】

（1）由抛物线y=﹣x2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣4，0）、B（1，0）两点，不妨设抛物线的解析式为y=﹣（x+4）（x﹣1），由此即可解决问题；

（2）分别表示出AC、AN、NC，然后分三种情形讨论：①当AN=AC时；②当NA=NC时，③当NC=AC时；分别构建方程即可解决问题；

（3）根据S△CDN=S△ANC﹣S△ADN构建二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题；

（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣4，0）、B（1，0）两点，不妨设抛物线的解析式为y=﹣（x+4）（x﹣1），即y=﹣x2﹣x+2，∴C（0，2）．

（2）∵A（﹣4，0），N（n，0），C（0，2），∴AC==2，AN= n+4，NC=．

分三种情况讨论：

①当AN=AC时，n+4=2，解得：n=2﹣4．

②当NA=NC时，n+4=，解得：n=﹣．

③当NC=AC时，=2，解得：n=±4．

∵点N（n，0）是线段AB上的一个动点（N与A、B两点不重合），故这种情况不成立．

综上所述：当n=2﹣4或﹣时，△ANC是等腰三角形．

（3）由题意可知：直线BC的解析式为y=﹣2x+2，直线AC的解析式为y=x+2，设N（n，0）．

∵ND∥BC，设ND的解析式为y=﹣2x+b，代入（n，0）可得：b=2n，∴ND的解析式为y=﹣2x+2n，由，可得点D的纵坐标：yD=（8+2n），∴S△CDN=S△ANC﹣S△ADN =[2×（n+4）﹣（8+2n）（n+4）]==﹣（n+）2+．

∵﹣＜0，∴当n=﹣时，△DCN的面积最大，最大值为．