Question

如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，AB为直径，∠ABC=30°，CD是⊙O的切线，E为AC延长线上一点，ED⊥AB于F．

（1）判断△DCE的形状；

（2）设⊙O的半径为1，且OF=，求证：△DCE≌△OCB．

Answer

（1）△CDE为等腰三角形；（2）证明见解析.

【解析】试题（1）由∠ABC=30°可得∠BAC=60°，结合DE⊥AB，可得∠AED的度数；根据弦切角定理可得∠DCB=60°，再结合∠ACB=90°，从而可得∠DCE的度数；

（2）由（1）的证明过程可得∠ABC=∠OCB=∠DCE=∠CED=30°，要证明△BOC≌△EDC，只要证明BC=CE，接下来由圆半径为1可得AB的长，结合含30度角直角三角形的性质以及勾股定理可得AC、BC的长，在Rt△AEF中，先求得AF的长，再利用含30度角直角三角形的性质可得AE的长，继而得到CE的长，从而可证△CDE≌△COB．.

（1）【解析】
∵∠ABC=30°，

∴∠BAC=60°．

又∵OA=OC，

∴△AOC是正三角形．

又∵CD是切线，

∴∠OCD=90°．

∴∠DCE=180°﹣60°﹣90°=30°．

而ED⊥AB于F，

∴∠CED=90°﹣∠BAC=30°．

故△CDE为等腰三角形．

（2）证明：∵CD是⊙O的切线，

∴∠OCD=90°，

∵∠BAC=60°，AO=CO，

∴∠OCA=60°，∵∠DCE=30°．

∴A，C，E三点同线

在△ABC中，

∵AB=2，AC=AO=1，

∴BC==．

∵OF=，

∴AF=AO+OF=．

又∵∠AEF=30°，

∴AE=2AF=+1，

∴CE=AE﹣AC==BC，

而∠OCB=∠ACB﹣∠ACO=90°﹣60°=30°=∠ABC；

故△CDE≌△COB．