Question

如图1，在平面直角坐标系中，已知点和点的坐标分别为，，将绕点按顺时针分别旋转，得到，，抛物线经过点，，；抛物线经过点，，.

（1）点的坐标为________，点的坐标为________；抛物线的解析式为________，抛物线的解析式为________；

（2）如果点是直线上方抛物线上的一个动点.

①若，求点的坐标；

②如图2，过点作轴的垂线交直线于点，交抛物线于点，记，求与的函数关系式.当时，求的取值范围.

Answer

（1），，：，：.（2）①符合条件的点的坐标为或.②.

【解析】

（1）根据旋转的性质，可得C，E，F的坐标，根据待定系数法求解析式；

（2）①根据P点关于直线CA或关于x轴对称直线与抛物线交点坐标，求出解析式，联立方程组求解；

②根据图象上的点满足函数解析式，可得P、N、M纵坐标，根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得二次函数，根据x取值范围讨论h范围．

（1）由旋转可知，OC=6，OE=2，

则点C坐标为（-6，0），E点坐标为（2，0），

分别利用待定系数法求C1解析式为：y=-x2−4x−6，C2解析式为：y=-x2−2x+6

（2）①若点P在x轴上方，∠PCA=∠ABO时，则CA1与抛物线C1的交点即为点P，如图，

设直线CA1的解析式为：y=k1x+b1

∴

解得

∴直线CA1的解析式为：y=x+2

联立：，解得或（舍去），

∴P()

若点P在x轴下方，∠PCA=∠ABO时，则CH与抛物线C1的交点即为点P，如图，

易知OH=OA，

∴H（0，-2）

设直线CH的解析式为：y=k2x+b2

∴

解得

∴直线CH的解析式为：y=x-2

联立：，解得或（舍去），

∴；

∴符合条件的点的坐标为或.

②设直线的解析式为：，

∴，解得，

∴直线的解析式为：，

过点作于点，则，

设P(x，-x2−4x−6)

∴，

，

，

，

当时，的最大值为21.

∵，当时，；

当时，；

当时，的取值范围是.