Question

如图，中，，以为直径的交于点，交于点，过点作于点，交的延长线于点.

（1）求证：是的切线；

（2）已知，，求和的长.

Answer

（1）证明见解析；（2）

【解析】（1）连接OD，AD，由圆周角定理可得AD⊥BC，结合等腰三角形的性质知BD=CD，再根据OA=OB知OD∥AC，从而由DG⊥AC可得OD⊥FG，即可得证；

（2）连接BE．BE∥GF，推出△AEB∽△AFG，可得，由此构建方程即可解决问题；

（1）如图，连接OD，AD，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，

∵AB=AC，

∴BD=CD，

又∵OA=OB，

∴OD∥AC，

∵DG⊥AC，

∴OD⊥FG，

∴直线FG与⊙O相切，即DF是⊙O的切线；

（2）如图，连接BE．∵BD=2，

∴CD＝BD＝2，

∵CF=2，

∴DF==4，

∴BE=2DF=8，

∵cos∠C=cos∠ABC，

∴，

∴，

∴AB=10，

∴AE=，

∵BE⊥AC，DF⊥AC，

∴BE∥GF，

∴△AEB∽△AFG，

∴，

∴，

∴BG=．