Question

如图：矩形ABCD中，AB=2，BC=5，E、P分别在AD、BC上，且DE=BP=1．

（1）判断△BEC的形状，并说明理由？

（2）判断四边形EFPH是什么特殊四边形？并证明你的判断；

（3）求四边形EFPH的面积．

Answer

（1）△BEC是直角三角形，理由见解析（2）四边形EFPH为矩形，理由见解析（3）

【解析】（1）△BEC是直角三角形，理由略

（2）四边形EFPH为矩形

证明：在矩形ABCD中，∠ABC=∠BCD=900

∴PA=， PD=2 ∵AD=BC=5

∴AP2+PD2=25=AD2 ∴∠APD=900 （3分）

同理∠BEC=900

∵DE=BP ∴四边形BPDE为平行四边形

∴BE∥PD （4分）

∴∠EHP=∠APD=900，又∵∠BEC=900

∴四边形EFPH为矩形 （5分）

（3）在RT△PCD中∠FfPD

∴PD·CF=PC·CD ∴CF==

∴EF=CE-CF=-= (7分)

∵PF==

∴S四边形EFPH=EF·PF= （9分）

（1）根据矩形性质得出CD=2，根据勾股定理求出CE和BE，求出CE2+BE2的值，求出BC2，根据勾股定理的逆定理求出即可；

（2）根据矩形的性质和平行四边形的判定，推出平行四边形DEBP和AECP，推出EH∥FP，EF∥HP，推出平行四边形EFPH，根据矩形的判定推出即可；

（2）根据三角形的面积公式求出CF，求出EF，根据勾股定理求出PF，根据面积公式求出即可．