Question

两块等腰直角三角形纸片AOB和COD按图①所示放置，直角顶点重合在点O处，AB＝25.保持纸片AOB不动，将纸片COD绕点O逆时针旋转α(0°＜α＜90°)角度，如图②所示．

(1)在图②中，求证：AC＝BD，且AC⊥BD；

(2)当BD与CD在同一直线上(如图③)时，若AC＝7，求CD的长．

       

Answer

（1）见解析；（2）17

【解析】试题分析：（1）如图2中，延长BD交OA于G，交AC于E.只要证明△AOC≌△BOD即可解决问题．
（2）如图3中，在△ABC中，利用勾股定理求出，再根据即可解决问题．

试题解析：(1)证明：如图2中，延长BD交OA于G，交AC于E.

∵∠AOB=∠COD=，

∴∠AOC=∠DOB，

在△AOC和△BOD中，

∴△AOC≌△BOD，

∴AC=BD，∠CAO=∠DBO，

∵∠DBO+∠GOB=，

∵∠OGB=∠AGE，

∴∠CAO+∠AGE=，

∴∠AEG=，

∴BD⊥AC.

(2)如图3中， △AOC≌△BOD，

∵BD、CD在同一直线上，BD⊥AC，

∴△ABC是直角三角形，

∴

解得