Question

如图，直线y=kx+b与坐标轴交于A，B两点，其中点B的坐标为（0，4），tan∠BAO=，一条抛物线的顶点为坐标原点，且与直线y=kx+b交于点C（m，8），点P为线段BC上一动点（不与点B，点C重合），PD⊥x轴于点D，交抛物线于点Q.

（1）求直线和抛物线的函数关系式；

（2）设点P的横坐标为t，线段PQ的长度为d，求出d与t之间的函数关系式，并求出d的最大值；

（3）是否存在点P的位置，使得以点P，D，B为顶点的三角形是等腰三角形？如果存在，直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer

（1）y=x+4，y=x2；（2）d=﹣t2+t+4,当t=2时，d有最大值；（3）存在，P点坐标为（2+2，5+）或（，），理由见解析

【解析】（1）利用三角形函数先求出A点坐标，再利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；

（2）将点P、Q的坐标用含t的式子表示出来，利用两点间的距离公式即可求出d与t之间的函数关系式，利用顶点公式即可求出d的最大值；

（3）从PB=BD或PB=PD或BD=PD三种情况进行讨论即可.

【解析】
（1）∵B（0，4），

∴OB=4，

在Rt△AOB中，∵tan∠BAO==，

∴OA=2OB=8，

∴A（﹣8，0），

把A（﹣8，0），B（0，4）代入y=kx+b得，解得，

∴直线AB的解析式为y=x+4，

当y=8时，x+4=8，解得x=8，则C（8，8），

设抛物线解析式为y=ax2，

把C（8，8）代入得64a=8，解得a=，

∴抛物线的解析式为y=x2；

（2）设P（t，t+4）（0＜t＜8），则Q（t，t2），

∴d=t+4﹣t2

=﹣t2+t+4，

∵d=﹣（t﹣2）2+，

∴当t=2时，d有最大值；

（3）存在．

∵B（0，4），P（t，t+4），D（t，0），

∴PB2=t2+（t+4﹣4）2=t2，DB2=t2+42=t2+16，PD2=（t+4）2=t2+4t+16，

当PB=BD时，△PBD为等腰三角形，即t2=t2+16，解得t1=8（舍去），t2=﹣8（舍去）；

当PB=PD时，△PBD为等腰三角形，即t2=t2+4t+16，解得t1=2﹣2（舍去），t2=2+2，此时P点坐标为（2+2，5+）；

当BD=PD时，△PBD为等腰三角形，即t2+16=t2+4t+16，解得t1=0（舍去），t2=，此时P点坐标为（，）；

综上所述，P点坐标为（2+2，5+）或（，）．