Question

如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC，AC于D，E两点，过点D作⊙O的切线，交AC于点F，交AB的延长线于点G．

（1）求证：EF=CF；

（2）若cos∠ABC=，AB=10，求线段AF的长．

Answer

（1）见解析；（2）

【解析】（1）连接AD，若要证明EF=CF，则可转化为证明∠C=∠DEC即可.

（2）将三角形函数值转化为边之比，再利用三角形的面积即可求解．

（1）证明：连接AD，

∵AB为直径，

∴∠ACB=90°，

∴AD⊥BC，

∵AB=AC，

∴BD=CD，

∵AO=OB，

∴OD=AC，OD∥AC，

∵DF为⊙O的切线，

∴OD⊥DF，

∴AC⊥DF，

∵A、B、D、E四点共圆，

∴∠DEC=∠ABD，

∵AB=AC，

∴∠ABD=∠ACB，

∴∠DEC=∠ACB，

∴DE=DC，

∴EF=CF；

（2）Rt△ABD中，cos∠ABC==，

∵AB=10，

∴BD=6，AC=10，

∴DC=BD=6，

S△ACD=CD•AD=AC•DF，

10DF=6×8，

DF=，

由勾股定理得：AF=．