Question

如图1，在中，为锐角，点为射线上一点，联结，以为一边且在的右侧作正方形．

（1）如果，，

①当点在线段上时（与点不重合），如图2，线段所在直线的位置关系为           ，线段的数量关系为           ；

②当点在线段的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由；

（2）如果，是锐角，点在线段上，当满足什么条件时，（点不重合），并说明理由．

Answer

（1）①垂直，相等；②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立，证明见解析；（2）当∠ACB＝45º时，CF⊥BD，理由见解析.

【解析】试题分析：（1）①点在线段上时，根据等腰直角三角形的性质，即可得出 ②当点D在BC的延长线上时，①的结论仍成立．由正方形ADEF的性质可推出△DAB≌△FAC,所以CF=BD，∠ACF=∠ABD.结合 得到 即
（2）当时, 过点A作AG⊥AC交CB或CB的延长线于点G,则∠GAC=，可推出 所以 由（1）①中的方法可得CF⊥BC.

试题解析：(1)①如图2，易证△DAB≌△FAC(SAS)，

即BD⊥CF；

故答案为：垂直，相等；

②如图3所示，当点D在BC的延长线上时，①中的结论仍成立,

证明：由正方形ADEF得,AD=AF,∠DAF=.

∵∠BAC=，

∴∠DAF=∠BAC，

∴∠DAB=∠FAC，

又∵AB=AC，

∴△DAB≌△FAC(SAS)，

∴CF=BD，∠ACF=∠ABD.

∵∠BAC=，AB=AC，

，即 CF⊥BD；

(2)如图4所示,当时,CF⊥BD.

理由：过点A作AG⊥AC交CB或CB的延长线于点G,则∠GAC=，

∴∠ACB=∠AGC，

∴AC=AG，

又∵∠DAG=∠FAC(同角的余角相等)，AD=AF，

∴△GAD≌△CAF(SAS)，

即CF⊥BC.