Question

如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=a．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．

（1）求证：△COD是等边三角形；

（2）当a=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；

（3）探究：当a为多少度时，△AOD是等腰三角形？

Answer

（1）证明见解析；（2）当α=150°时，△AOD是直角三角形，理由见解析；（3）当α的度数为125°或110°或140°时，△AOD是等腰三角形．

【解析】试题分析：（1）根据旋转的性质可得出，结合题意即可证得结论；
（2）结合（1）的结论可作出判断；
（3）找到变化中的不变量，然后利用旋转及全等的性质即可做出解答．

试题解析：(1)证明：∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转得△ADC，

∴CO=CD,∠OCD=，

∴△COD是等边三角形，

(2)当时，△AOD是直角三角形.

理由是：∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60得△ADC，

∴△BOC≌△ADC，

又∵△COD是等边三角形，

∴∠ODC=，

∴△AOD不是等腰直角三角形，即△AOD是直角三角形。

(3)①要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO，

②要使OA=OD，需∠OAD=∠ADO.

③要使OD=AD，需∠OAD=∠AOD.

解得

综上所述：当α的度数为或或时，△AOD是等腰三角形。