Question

如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为(6，0)，点B在y轴的正半轴上，且=240.

  (1)求点B坐标；

  (2)若点P从B出发沿y轴负半轴方向运动，速度每秒2个单位，运动时间t秒，△AOP的面积为S，求S与t的关系式，并直接写出t的取值范围；

  (3)在(2)的条件下，若S△AOP：S△ABP=1:3，且S△AOP+S△ABP=S△AOB，在线段AB的垂直平分线上是否存在点Q，使得△AOQ的面积与△BPQ的面积相等？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由。

     

Answer

（1）点 B的坐标为（0,8）（2）S=24-6t (0≤t<4)； S=6t-24(t>4)；(3)点Q的坐标为(-1,1)或（7,7）.

【解析】试题分析：（1）根据三角形的面积公式求出OB的长即可；

（2）分0≤t<4和t≥4两种情况，根据三角形面积公式计算即可；

（3）根据题意和三角形的面积公式求出OP、BP的长，根据相似三角形的性质求出点E的坐标，根据中点的性质确定点F的坐标，运用待定系数法求出直线ef的解析式，根据等底的两个三角形面积相等，它们的高也相等分x=y和x=-y两种情况计算即可．

试题解析：（1）∵点坐标为，

，

，

则，

点 B的坐标为（0,8）；

（2）当0≤t<4时，S=×（8-2t）×6=24-6t；

当t>4时，S=（2t-8）×6=6t-24；

(3)

线段的垂直平分线交于,交于，

由勾股定理， ,则点的坐标为

点的坐标为

解得直线的解析式为

点的坐标为(-1,1)或（7,7）