Question

如图，∠BAD=90°，AB=AD，CB=CD，一个以点C为顶点的45°角绕点C旋转，角的两边与BA，DA交于点M，N，与BA，DA的延长线交于点E，F，连接AC.

（1）在∠FCE旋转的过程中，当∠FCA=∠ECA时，如图1，求证：AE=AF；

（2）在∠FCE旋转的过程中，当∠FCA≠∠ECA时，如图2，如果∠B=30°，CB=2，用等式表示线段AE，AF之间的数量关系，并证明.

Answer

（1）证明见解析；（2）.

【解析】试题分析：（1）先证明△ABC≌△ADC，然后再证明△ACF≌△ACE即可得；

（2）过点C作CG⊥AB于点G，先求出AC的长，再证明△ACF∽△AEC，根据相似三角形的性质即可得.

试题解析：（1）∵AB=AD，BC=CD，AC=AC，∴△ABC≌△ADC，

∴∠BAC=∠DAC=45°，∴180°-∠BAC=180°-∠DAC，∴∠FAC=∠EAC=135°，

又∵∠FCA=∠ECA，

∴△ACF≌△ACE，

∴AE=AF；

（2）过点C作CG⊥AB于点G，则∠BGC=∠AGC=90°，

∵∠B=30°，∴CG=BC==1，

∵∠BAC=45°，∴AC= =，

∵∠FAC=∠EAC=135°，∴∠ACF+∠F=45°，

又∵∠ACF+∠ACE=45°，∴∠F=∠ACE，

∴△ACF∽△AEC，

∴，即，

∴.