Question

在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过点（2，3），对称轴为直线x =1.

（1）求抛物线的表达式；

（2）如果垂直于y轴的直线l与抛物线交于两点A（， ），B（， ），其中， ，与y轴交于点C，求BCAC的值；

（3）将抛物线向上或向下平移，使新抛物线的顶点落在x轴上，原抛物线上一点P平移后对应点为点Q，如果OP=OQ，直接写出点Q的坐标.

Answer

（1）；（2）BC-AC=2；（3）点Q的坐标为（）或（）．

【解析】试题分析：（1）由抛物线经过点（2，3），对称轴为直线x =1，利用待定系数法即可得；

（2）如图，设l与对称轴交于点M，根据抛物线的对称性，可知AM=BM， AM=AC+CM，BC=BM+CM，推导即可得；

（3）由OP=OQ可知P、Q两点关于x轴对称，求出平移后的解析式，表示出P、Q的坐标，根据关于x轴对称的点的性质即可求得 .

试题解析：（1） ，解得，

∴；

（2）如图，设l与对称轴交于点M，则有CM=1，

由抛物线的对称性可得，BM= AM，

又∵BC=BM+CM， AM=AC+CM，

∴BC-AC= BM+MC-AC= AM+MC-AC= AC+CM+MC-AC=2CM=2；

（3）=-（x-1）2+4，

所以平移后的抛物线解析式为： -4=-x2+2x-1，

设P（m，-m2+2m+3），则平移后对应点Q（m，-m2+2m-1），

因为OP=OQ，所以P、Q两点关于x轴对称，

所以：(-m2+2m+3）+（-m2+2m-1）=0，

解得：m1=，m2=，

所以：点Q的坐标为（）或（）．