Question

如图， 是⊙O的直径，点是的中点，连接并延长至点，使，点是上一点，且， 的延长线交的延长线于点， 交⊙O于点，连接.

（1）求证： 是⊙O的切线；

（2）当时，求的长.

Answer

（1）证明见解析；（2）BH =.

【解析】试题分析：（1）连接OC，由题意可得∠AOC=90°，OC//BD，从而得OB与BD垂直，问题得证；

（2）先证明△OCE∽△BFE，根据相似三角形对应边成比例以及，求得BF=3，在Rt中，利用勾股定理求得，再利用 即可得.

试题解析：（1）连接OC，

∵AB为⊙O的直径，点是的中点，∴∠AOC＝90°，

∵，∴OC是的中位线，∴OC∥BD，

∴∠ABD＝∠AOC＝90°，

∴，

∴是⊙O的切线；

（2）由（1）知OC∥BD，∴△OCE∽△BFE，∴ ，

∵OB = 2，∴OC= OB = 2，AB = 4，∵ ，∴，∴BF=3，

在Rt中，∠ABF＝90°，，

∵ ，

∴.即，

∴BH =.