Question

在正方形ABCD中，连接BD．

（1）如图1，AE⊥BD于E．直接写出∠BAE的度数．

（2）如图1，在（1）的条件下，将△AEB以A旋转中心，沿逆时针方向旋转30°后得到△AB′E′，AB′与BD交于M，AE′的延长线与BD交于N．

①依题意补全图1；

②用等式表示线段BM、DN和MN之间的数量关系，并证明．

（3）如图2，E、F是边BC、CD上的点，△CEF周长是正方形ABCD周长的一半，AE、AF分别与BD交于M、N，写出判断线段BM、DN、MN之间数量关系的思路．（不必写出完整推理过程）

Answer

（1）45°；（2）①补图见解析；②BM、DN和MN之间的数量关系是BM2+MD2=MN2，证明见解析；（3）答案见解析.

【解析】（1）利用等腰直角三角形的性质即可；

（2）依题意画出如图1所示的图形，根据性质和正方形的性质，判断线段的关系，再利用勾股定理得到FB2+BM2=FM2，再判断出FM=MN即可；

（3）利用△CEF周长是正方形ABCD周长的一半，判断出EF=EG，再利用（2）证明即可．

【解析】
（1）∵BD是正方形ABCD的对角线，∴∠ABD=∠ADB=45°，

∵AE⊥BD，∴∠ABE=∠BAE=45°，

（2）①依题意补全图形，如图1所示，

②BM、DN和MN之间的数量关系是BM2+MD2=MN2，

将△AND绕点D顺时针旋转90°，得到△AFB，

∴∠ADB=∠FBA，∠BAF=∠DAN，DN=BF，AF=AN，

∵在正方形ABCD中，AE⊥BD，∴∠ADB=∠ABD=45°，

∴∠FBM=∠FBA+∠ABD=∠ADB+∠ABD=90°，

在Rt△BFM中，根据勾股定理得，FB2+BM2=FM2，

∵旋转△ANE得到AB1E1，∴∠E1AB1=45°，∴∠BAB1+∠DAN=90°﹣45°=45°，

∵∠BAF=DAN，∴∠BAB1+∠BAF=45°，∴∠FAM=45°，∴∠FAM=∠E1AB1，

∵AM=AM，AF=AN，∴△AFM≌△ANM，∴FM=MN，

∵FB2+BM2=FM2，∴DN2+BM2=MN2，

（3）如图2，

将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，∴DF=GB，

∵正方形ABCD的周长为4AB，△CEF周长为EF+EC+CF，

∵△CEF周长是正方形ABCD周长的一半，∴4AB=2（EF+EC+CF），∴2AB=EF+EC+CF

∵EC=AB﹣BE，CF=AB﹣DF，∴2AB=EF+AB﹣BE+AB﹣DF，∴EF=DF+BE，

∵DF=GB，∴EF=GB+BE=GE，由旋转得到AD=AG=AB，

∵AM=AM，∴△AEG≌△AEF，∠EAG=∠EAF=45°，和（2）的②一样，得到DN2+BM2=MN2．

“点睛”此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、旋转的性质，三角形的全等，判断出（△AFN≌△ANM，得到FM=MM），是解题的关键.