Question

如图，抛物线y=﹣（x﹣1）²+c与x轴交于A，B（A，B分别在y轴的左右两侧）两点，与y轴的正半轴交于点C，顶点为D，已知A（﹣1，0）．

（1）求点B，C的坐标；

（2）判断△CDB的形状并说明理由；

（3）将△COB沿x轴向右平移t个单位长度（0＜t＜3）得到△QPE．△QPE与△CDB重叠部分（如图中阴影部分）面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．

Answer

（1）B（3，0），C（0，3）；（2）△CDB为直角三角形；（3）S=．

【解析】试题分析：（1）首先用待定系数法求出抛物线的解析式，然后进一步确定点B，C的坐标；
（2）分别求出△CDB三边的长度，利用勾股定理的逆定理判定△CDB为直角三角形；
（3）△COB沿x轴向右平移过程中，分两个阶段：
（I）当0＜t≤时，如答图2所示，此时重叠部分为一个四边形；
（II）当＜t＜3时，如答图3所示，此时重叠部分为一个三角形．

试题解析：（1）∵点A（﹣1，0）在抛物线y=﹣（x﹣1）2+c上，

∴0=﹣（﹣1﹣1）2+c，得c=4，

∴抛物线解析式为：y=﹣（x﹣1）2+4，

令x=0，得y=3，

∴C（0，3）；

令y=0，得x=﹣1或x=3，

∴B（3，0）．

（2）△CDB为直角三角形．

理由如下：由抛物线解析式，得顶点D的坐标为（1，4）．

如答图1所示，

过点D作DM⊥x轴于点M，则OM=1，DM=4，BM=OB﹣OM=2．

过点C作CN⊥DM于点N，则CN=1，DN=DM﹣MN=DM﹣OC=1．

在Rt△OBC中，由勾股定理得：BC=；

在Rt△CND中，由勾股定理得：CD=；

在Rt△BMD中，由勾股定理得：BD=．

∵BC2+CD2=BD2，∴△CDB为直角三角形（勾股定理的逆定理）．

（3）设直线BC的解析式为y=kx+b，

∵B（3，0），C（0，3），

∴，

解得k=﹣1，b=3，

∴y=﹣x+3，直线QE是直线BC向右平移t个单位得到，

∴直线QE的解析式为：y=﹣（x﹣t）+3=﹣x+3+t；

设直线BD的解析式为y=mx+m，

∵B（3，0），D（1，4），

∴，

解得：m=﹣2，n=6，

∴y=﹣2x+6.连接CQ并延长,射线CQ交BD于点G，则G（1.5,3）.

在△COB向右平移的过程中：

（I）当0＜t≤1.5时，如答图2所示：设PQ与BC交于点K，可得QK=CQ=t，PB=PK=3﹣t．

设QE与BD的交点为F，则： ，

解得，

∴F（3﹣t，2t）．

S=S△QPE﹣S△PBK﹣S△FBE=0.5PE•PQ=0.5PB•PK=0.5BE•yF==0.5×3×3=0.5(3﹣t)2=0.5t•2t=-1.5t2+3t；

（II）当1.5＜t＜3时，如答图3所示：设PQ分别与BC、BD交于点K、点J．

∵CQ=t,∴KQ=t,PK=PB=3﹣t．直线BD解析式为y=﹣2x+6,

令x=t，得y=6﹣2t，

∴J（t，6﹣2t）．

S=S△PBJ﹣S△PBK=0.5PB•PJ﹣0.5PB•PK=0.5（3﹣t）（6﹣2t）﹣0.5（3﹣t）2=0.5t2﹣3t+4.5．

综上所述，S与t的函数关系式为：S= ．