Question

在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为D.

（1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）；

（2）若该抛物线经过点A（1，m），求m的值；

（3）在（2）的条件下，抛物线与x轴是否有交点，若有，求出交点坐标，若没有，说明理由.

Answer

（1）顶点坐标为D(m，-m+2)；

（2）m=3或m=1；

（3）与x轴交点为（2,0），（4,0）.

【解析】试题分析：（1）将二次函数解析式化为顶点式，写出顶点坐标即可；（2）将点A的坐标代入二次函数解析式求出m即可；（3）令y=0得到一元二次方程，对此方程的进行有无实数根的判断即可得出抛物线与x轴有无交点.

试题解析：

【解析】
（1）y=x2－2mx+m2－m+2=（x－m）2－m+2，所以顶点坐标为D(m，－m+2).

（2）将A（1，m）代入二次函数解析式得：m= 1－2m+m2－m+2，m2－4m+3=0，

解得：m=3或m=1.

（3）当m=1时，y= x2－2x +2，令y=0，得x2－2x +2=0，

Δ=b2－4ac=（－2）2－4×1×2=－4＜0，所以方程无解，所以与抛物线与x轴没有交点；

当m=3时，y= x2－6x +8，令y=0，得x2－6x +8=0，解得x=2或4，

所以抛物线与x轴交点为（2，0），（4，0）.

点睛：要判断二次函数与x轴有无交点，令y=0，对得到的一元二次方程进行有无实数根的判断即可得出二次函数与x轴有无交点.