Question

如图，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合），将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH．

（1）求证：∠APB=∠BPH；

（2）当点P在边AD上移动时，求证：△PDH的周长是定值；

（3）当BE+CF的长取最小值时，求AP的长．

Answer

（1）见解析；（2）△PDH的周长是定值为8，理由见解析；（3）2

【解析】试题分析：（1）根据翻折变换的性质得出∠PBC=∠BPH，进而利用平行线的性质得出∠APB=∠PBC即可得出答案；

（2）首先证明△ABP≌△QBP，进而得出△BCH≌△BQH，即可得出PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8；

（3）过F作FM⊥AB，垂足为M，则FM=BC=AB，证明△EFM≌△BPA，设AP=x，利用折叠的性质和勾股定理的知识用x表示出BE和CF，结合二次函数的性质求出最值．

试题解析：（1）【解析】
如图1，

∵PE=BE，

∴∠EBP=∠EPB．

又∵∠EPH=∠EBC=90°，

∴∠EPH-∠EPB=∠EBC-∠EBP．

即∠PBC=∠BPH．

又∵AD∥BC，

∴∠APB=∠PBC．

∴∠APB=∠BPH．

（2）证明：如图2，过B作BQ⊥PH，垂足为Q．

由（1）知∠APB=∠BPH，

又∵∠A=∠BQP=90°，BP=BP，

在△ABP和△QBP中，

，

∴△ABP≌△QBP（AAS），

∴AP=QP，AB=BQ，

又∵AB=BC，

∴BC=BQ．

又∠C=∠BQH=90°，BH=BH，

在△BCH和△BQH中，

，

∴△BCH≌△BQH（SAS），

∴CH=QH．

∴△PHD的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8．

∴△PDH的周长是定值．

（3）【解析】
如图3，过F作FM⊥AB，垂足为M，则FM=BC=AB．

又∵EF为折痕，

∴EF⊥BP．

∴∠EFM+∠MEF=∠ABP+∠BEF=90°，

∴∠EFM=∠ABP．

又∵∠A=∠EMF=90°，

在△EFM和△BPA中，

，

∴△EFM≌△BPA（AAS）．

∴EM=AP．

设AP=x

在Rt△APE中，（4-BE）2+x2=BE2．

解得BE=2+，

∴CF=BE-EM=2+-x，

∴BE+CF=-x+4=（x-2）2+3．

当x=2时，BE+CF取最小值，

∴AP=2．

考点：几何变换综合题．