Question

如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°．

（1）动手操作：利用尺规作∠ABC的平分线，交AC于点O，再以O为圆心，OC的长为半径作⊙O（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）综合运用：在你所作的图中，

①判断AB与⊙O的位置关系，并证明你的结论；

②若AC=12，tanOBC=，求⊙O的半径．

Answer

（1）见解析；（2）AB与⊙O相切，理由见解析；（3）

【解析】试题分析：（1）只需按照题目的要求画图即可；

（2）①过点O作OD⊥AB，垂足为D，如图所示，只需证明OD=OC即可；②在Rt△OBC中，运用三角函数可求出，从而得到，易证Rt△ADO∽Rt△ACB，运用相似三角形的性质可求得AD=8，然后在Rt△ADO中运用勾股定理即可解决问题．

试题解析：（1）如图，⊙O即为所求作；

（2）AB与⊙O相切，理由如下：

过点O作OD⊥AB，垂足为D，如图所示．

∵∠ACB=90°，∴OC⊥BC．

∵BO是∠ABC的平分线，OD⊥AB，OC⊥BC，

∴OC=OD．

∴AB与⊙O相切；

（3）在Rt△OBC中，

tan∠OBC=

∴．

又∵∠ADO=∠ACB=90°，∠A=∠A，

∴Rt△ADO∽Rt△ACB，

∴，

∴AD=AC=×12=8．

设⊙O的半径为r，则OD=OC=r，AO=12-r．

在Rt△ADO中，

根据勾股定理可得r2+82=（12-r）2，

解得r=，

∴⊙O的半径是．

考点：1．作图—复杂作图；2．切线的判定；3．相似三角形的判定与性质．