Question

如图甲，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A、B，⊙O的半径为个单位长度．点P为直线y=-x+8上的动点，过点P作⊙O的切线PC、PD，切点分别为C、D，且PC⊥PD．

（1） 试说明四边形OCPD的形状(要有证明过程)；

（2）求点P的坐标；

（3）若直线y=-x+8沿x轴向左平移得到一条新的直线y₁=-x+b，此直线将⊙O的圆周分得两段弧长之比为1：3，请直接写出b的值；

（4）若将⊙O沿x轴向右平移(圆心O始终保持在x轴上)，试写出当⊙O与直线y=-x+8有交点时圆心O的横坐标m的取值范围．（直接写出答案）

Answer

（1）四边形OCPD是正方形，证明见解析；（2）P的坐标为（2，6）或（6，2）； （3）b的值为或；(4) ≤m≤ .

【解析】试题分析：（1）利用切线的性质和切线长定理可判定出四边形OCPD为正方形；

（2）设P点坐标为（x，-x+8），在Rt△OCP中利用勾股定理得到关于x的方程，求解即可；

（3）直线y=-x+b将圆周分成两段弧长之比为1：3，可知被割得的弦所对的圆心角为90°，又直线y=-x+b与坐标轴的夹角为45°，从而可知有两种情况，从而可得b的值；

（4）设向右移动⊙O到O′时，⊙O与直线y=-x+8相切，切点为D，根据相切时圆心O的横坐标即可求得⊙O与直线y=-x+8相交时圆心O的横坐标m的取值范围．

试题解析：（1）四边形OCPD是正方形．证明如下：

如图甲，连接OC、OD,

∵PC、PD是⊙O的两条切线，

∴∠PCO=∠PDO=90°，

又∵PC⊥PD，

∴四边形OCPD是矩形，

又∵OC=OD，

∴四边形OCPD是正方形；

（2）如图甲，过P作x轴的垂线，垂足为F，连接OP，

∵PC、PD是⊙O的两条切线，∠CPD=90°，

∴∠OPD=∠OPC=∠CPD=45°，

∵∠PDO=90°，∠POD=∠OPD=45°，

∴OD=PD=，OP= ，

∵P在直线y=-x+8上，设P（m，-m+8），则OF=m，PF=-m+8，

∵∠PFO=90°，OF2+PF2=PO2，

∴m2+（-m+8）2=（）2，

解得m=2或6，

∴P的坐标为（2，6）或（6，2）；

（3）直线y=-x+b将圆周分成两段弧长之比为1：3，可知被割得的弦所对的圆心角为90°，又直线y=-x+b与坐标轴的夹角为45°，如图可知，分两种情况，所以b的值为或，

故答案是：或；

(4) 设向右移动⊙O到O′时，⊙O′与直线y=-x+8相切，切点为D，如图，

∴O′D⊥AB，

由直线y=-x+8可知A（8，0），B（0，-8），

∴OA=OB，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠OAB=45°，

∴△O′AD是等腰直角三角形，

∴O′D=AD=2 ，

∴O′A=2 ，

∴OO′=8-2或8+2，

∴当⊙O与直线y=-x+8相交时圆心O的横坐标m的取值范围为： ≤m≤ .

【点睛】本题主要考查圆的切线的性质及直线和圆的位置关系、正方形的判定和性质等知识的综合应用，掌握切线的性质及特殊四边形的判定方法是解题的关键，注意相切时，有圆在直线的左侧和右侧两种情况．