Question

如图，已知二次函数L₁：y=ax²﹣2ax+a+3（a＞0）和二次函数L₂：y=﹣a（x+1）²+1

（a＞0）图象的顶点分别为M，N，与y轴分别交于点E，F．

（1）函数y=ax²﹣2ax+a+3（a＞0）的最小值为______，当二次函数L₁，L₂的y值同时随着x的增大而减小时，x的取值范围是______．

（2）当EF=MN时，求a的值，并判断四边形ENFM的形状（直接写出，不必证明）．

（3）若二次函数L₂的图象与x轴的右交点为A（m，0），当△AMN为等腰三角形时，求方程﹣a（x+1）²+1=0的解．

Answer

（1）3；﹣1≤x≤1；（2）a=﹣1，四边形ENFM是矩形；（3）x1=﹣1，x2=﹣1﹣或x1=2，x2=﹣4．

【解析】试题分析：（1）把二次函数L1：y=ax2﹣2ax+a+3化成顶点式，即可求得最小值，分别求得二次函数L1，L2的y值随着x的增大而减小的x的取值，从而求得二次函数L1，L2的y值同时随着x的增大而减小时，x的取值范围；

（2）先求得E、F点的坐标，作MG⊥y轴于G，则MG=1，作NH⊥y轴于H，则NH=1，从而求得MG=NH=1，然后证得△EMG≌△FNH，∠MEF=∠NFE，EM=NF，进而证得EM∥NF，从而得出四边形ENFM是平行四边形；

（3）作MN的垂直平分线，交MN于D，交x轴于A，先求得D的坐标，继而求得MN的解析式，进而就可求得直线AD的解析式，令y=0，求得A的坐标，根据对称轴从而求得另一个交点的坐标，就可求得方程﹣a（x+1）2+1=0的解．

试题解析：（1）∵二次函数L1：y=ax2﹣2ax+a+3=a（x﹣1）2+3，

∴顶点M坐标为（1，3），∵a＞0，∴函数y=ax2﹣2ax+a+3（a＞0）的最小值为3，

∵二次函数L1的对称轴为x=1，当x＜1时，y随x的增大而减小；

二次函数L2：y=﹣a（x+1）2+1的对称轴为x=﹣1，当x＞﹣1时，y随x的增大而减小；

∴当二次函数L1，L2的y值同时随着x的增大而减小时，x的取值范围是﹣1≤x≤1；

故答案为：3，﹣1≤x≤1．

（2）由二次函数L1：y=ax2﹣2ax+a+3可知E（0，a+3），

由二次函数L2：y=﹣a（x+1）2+1=﹣a2x﹣2ax﹣a+1可知F（0，﹣a+1），

∵M（1，3），N（﹣1，1），

∴EF=MN==2，

∴a+3﹣（﹣a+1）=2，

∴a=﹣1，

作MG⊥y轴于G，则MG=1，作NH⊥y轴于H，则NH=1，

∴MG=NH=1，

∵EG=a+3﹣3=a，FH=1﹣（﹣a+1）=a，

∴EG=FH，

在△EMG和△FNH中，

，

∴△EMG≌△FNH（SAS），

∴∠MEF=∠NFE，EM=NF，

∴EM∥NF，

∴四边形ENFM是平行四边形；

∵EF=MN，

∴四边形ENFM是矩形；

（3）由△AMN为等腰三角形，可分为如下三种情况：

①如图2，当MN=NA=2时，过点N作ND⊥x轴，垂足为点D，则有ND=1，DA=m﹣（﹣1）=m+1，

在Rt△NDA中，NA2=DA2+ND2，即（2）2=（m+1）2+12，

∴m1=﹣1，m2=﹣﹣1（不合题意，舍去），

∴A（﹣1，0）．

由抛物线y=﹣a（x+1）2+1（a＞0）的对称轴为x=﹣1，

∴它与x轴的另一个交点坐标为（﹣1﹣，0）．

∴方程﹣a（x+1）2+1=0的解为x1=﹣1，x2=﹣1﹣．

②如图3，当MA=NA时，过点M作MG⊥x轴，垂足为G，则有OG=1，MG=3，GA=|m﹣1|，

∴在Rt△MGA中，MA2=MG2+GA2，即MA2=32+（m﹣1）2，

又∵NA2=（m+1）2+12，

∴（m+1）2+12=32+（m﹣1）2，m=2，

∴A（2，0），

则抛物线y=﹣a（x+1）2+1（a＞0）的左交点坐标为（﹣4，0），

∴方程﹣a（x+1）2+1=0的解为x1=2，x2=﹣4．

③当MN=MA时，32+（m﹣1）2=（2）2，

∴m无实数解，舍去．

综上所述，当△AMN为等腰三角形时，方程﹣a（x+1）2=0的解为

x1=﹣1，x2=﹣1﹣或x1=2，x2=﹣4．

考点：二次函数的综合题；二次函数的性质；三角形全等的判定和性质；平行四边形的判定；待定系数法求一次函数的解析式．