Question

（1）观察下列图形与等式的关系，并填空

（2）观察下图，根据（1）中结论，计算图中黑球的个数，用含有n的代数式填空：

1+3+5+…+（2n﹣1）+（______）+（2n﹣1）+…+5+3+1=______．

Answer

（1）42；n2．（2）2n+1；2n2+2n+1．

【解析】试题分析：（1）设第n幅图中球的个数为an，根据数的变化找出变化规律“an-1=n2”，依此规律即可得出结论；

（2）将图形中的黑球分成三部分：1到n行，第n+1行，n+2行到2n+1行，结合（1）的结论即可得出图2中黑球的个数．

试题解析：3+5+7=16=42，设第n幅图中球的个数为an，

观察，发现规律：a1=1+3=22，a2=1+3+5=32，a3=1+3+5+7=42，…，

∴an﹣1=1+3+5+…+（2n﹣1）=n2．

故答案为：42；n2．

（2）观察图形发现：

图中黑球可分三部分，1到n行，第n+1行，n+2行到2n+1行，

即1+3+5+…+（2n﹣1）+[2（n+1）﹣1]+（2n﹣1）+…+5+3+1，

=1+3+5+…+（2n﹣1）+（2n+1）+（2n﹣1）+…+5+3+1，

=an﹣1+（2n+1）+an﹣1=n2+2n+1+n2=2n2+2n+1．

故答案为：2n+1；2n2+2n+1．