Question

如图，四边形OBCD中的三个顶点在⊙O上，点A是优弧BD上的一个动点（不与点B、D重合）．

（1）当圆心O在∠BAD内部，∠ABO+∠ADO=60°时，∠BOD=              ；

（2）当圆心O在∠BAD内部，四边形OBCD为平行四边形时，求∠A的度数；

（3）当圆心O在∠BAD外部，四边形OBCD为平行四边形时，请直接写出∠ABO与∠ADO的数量关系．

Answer

（1）120 °；（2）60°；（3）60°．

【解析】试题分析：（1）连接OA，如图1，根据等腰三角形的性质得∠OAB=∠ABO，∠OAD=∠ADO，则∠OAB+∠OAD=∠ABO+∠ADO=60°，然后根据圆周角定理易得∠BOD=2∠BAD=120°；（2）根据平行四边形的性质得∠BOD=∠BCD，再根据圆周角定理得∠BOD=2∠A，则∠BCD=2∠A，然后根据圆内接四边形的性质由∠BCD+∠A=180°，易计算出∠A的度数；（3）讨论：当∠OAB比∠ODA小时，如图2，与（1）一样∠OAB=∠ABO，∠OAD=∠ADO，则∠OAD﹣∠OAB=∠ADO﹣∠ABO=∠BAD，由（2）得∠BAD=60°，

所以∠ADO﹣∠ABO=60°；当∠OAB比∠ODA大时，用样方法得到∠ABO﹣∠ADO=60°．

试题解析：（1）连接OA，如图1，

∵OA=OB，OA=OD， ∵∠OAB=∠ABO，∠OAD=∠ADO， ∴∠OAB+∠OAD=∠ABO+∠ADO=60°，即∠BAD=60°，

∴∠BOD=2∠BAD=120°；

（2）∵四边形OBCD为平行四边形， ∴∠BOD=∠BCD， ∵∠BOD=2∠A， ∴∠BCD=2∠A，

∵∠BCD+∠A=180°，即3∠A=180°， ∴∠A=60°；

（3）当∠OAB比∠ODA小时，如图2，

∵OA=OB，OA=OD， ∵∠OAB=∠ABO，∠OAD=∠ADO， ∴∠OAD﹣∠OAB=∠ADO﹣∠ABO=∠BAD，

由（2）得∠BAD=60°， ∴∠ADO﹣∠ABO=60°； 当∠OAB比∠ODA大时，

同理可得∠ABO﹣∠ADO=60°， 综上所述，|∠ABO﹣∠ADO|=60°．

考点：(1)、圆周角定理；(2)、平行四边形的性质；(3)、圆内接四边形的性质