Question

阅读：如图1，在△ABC中，BE是AC边上的中线， D是BC边上的一点，CD：BD=1：2，AD与BE相交于点P，求的值．小昊发现，过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F，通过构造△AEF，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．

（1）的值为         ；

（2）参考小昊思考问题的方法，解决问题：

如图3，在△ABC中，∠ACB=90°，点D在BC的延长线上，AD与AC边上的中线BE的延长线交于点P，DC：BC：AC=1：2：3 ．

求 的值；

若CD=2，求BP的长．

Answer

（1）；（2）①，②6．

【解析】

试题分析：（1）根据辅助线的作法可得△AEF≌△CEB，△AFP∽△DBP，然后利用它们的性质可得=;（2）①过点A作AF∥DB，交BE的延长线于点F，可得△AEF≌△CEB，△AFP∽△DBP，然后利用它们的性质可得=；②根据条件DC：BC：AC=1：2：3 ，CD=2，得出BC， AC，CE，AE的长，由勾股定理可得 EF的长，再利用△AFP∽△DBP的性质可求出BP的长．

试题解析：（1）的值为．

（2）①过点A作AF∥DB，交BE的延长线于点F，

∵DC︰BC＝1︰2，

∴BC＝2k．

∴DB＝DC＋BC＝3k．

∵E是AC中点，

∴AE＝CE．

∵AF∥DB，

∴∠F＝∠1．

又∵∠2＝∠3，

∴△AEF≌△CEB．

∴AF＝BC＝2k．

∵AF∥DB，

∴△AFP∽△DBP．

∴ ．

∴= ．

②∵DC：BC：AC=1：2：3 ，CD=2，∴BC=4 AC=6

∴ CE=AE=AC =3

∴ 由勾股定理可得： EF=5，∴BF=10

∵ =,△AFP∽△DBP,

∴

∴BP=6

考点：1．相似三角形的判定与性质、2．全等三角形的判定与性质．