Question

如图在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，M是BC的中点，P为AB上的一个动点（不可以与A，B重合），并作∠MPD=90°，PD交BC（或BC的延长线）于点D

（1）记BP的长为x，△BPM的面积为y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。

（2）是否存在这样的点P，使得△MPD与△ABC相似？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由

Answer

(1) y=x(0＜x＜10 且x≠5);(2) 存在符合条件的P点，且x=2 .5或3.2

【解析】试题分析：（1）△BMP中，BM的长易求得，关键是求BM边上的高；过P作PH⊥BC于H，易证得△BPH∽△BAC，通过相似三角形得出的成比例线段可求出PH的长，进而可求出y、x的函数关系式；

（2）所求的两个三角形中，已知∠MPD=∠ACB=90°，若使两三角形相似要分两种情况进行讨论；

一、D在BC上，

①∠PMB=∠B，此时PM=BM，MH=BH=2，可根据相似三角形得出的成比例线段求出x的值；②∠PMB=∠A，此时△BPM∽△BCA，同①可求得x的值；

二、D在BC延长线上时；

由于∠PMD＞∠B，因此只有一种情况：∠PMD=∠BAC；当P、A重合时，易证得∠MAC=∠PDM，由于tan∠MAC=＜tan∠B，所有∠MAC＜∠B，即当D在BC延长线上时，∠PDM总小于∠B，所有△PDM和△ABC不会相似；

综合两种情况，可得出符合条件的x的值．

试题解析：（1）过P作PH⊥BC于H，则PH∥AC；

Rt△ABC中，AC=6，BC=8；则AB=10．

∵P为AB上动点可与A、B重合（与A重合BP为0，与B重合BP为10）

 但是x不能等于5．

∵当x=5时，P为AB中点，PM∥AC，得到PD∥BC，PD与BC无交点，与题目已知矛盾，所以x的取值范围是，0≤x≤或5＜x≤10，

易知△BPH∽△BAC，得：，PH=x；

∴y=×4×x=x（0≤x≤或5＜x≤10）；

（2）当D在BC上时，

①∠PMB=∠B时，BP=PM，MH=BH=2；

PB=x，AB=10，MH=2，BC=8，

此时△PBH∽△BCA，

∴，得：，解得x＝；

②∠PMB=∠A时，△DPM∽△BCA，得：，即DP•BA=DM•BC；

∴10x=4×8，解得x=；

当D在BC延长线上时，

由于∠PMD＞∠B，所以只讨论∠PDM=∠B的情况；

当P、A重合时，Rt△MPD中，AC⊥MD，则∠MAC=∠PDM，

∵tan∠MAC=，tanB=，tan∠MAC＜tanB，

∴∠MAC＜∠B，即∠PDM＜∠B；

由于当P、A重合时，∠PDM最大，故当D在BC延长线上时，∠B＞∠PDM；

所以△PDM和△ACB不可能相似；

综上所述，存在符合条件的P点，且x=2.5或3.2．

【方法点睛】主要考查了相似三角形的判定和性质，需注意的是（2）题中，虽然当D在BC延长线上的情况不成立，但是一定要将这种情况考虑到，以免漏解．