Question

如图1，在等腰直角△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，小敏将一块三角板中含45°角的顶点放在A上，从AB边开始绕点A逆时针旋转一个角α，其中三角板斜边所在的直线交直线BC于点D，直角边所在的直线交直线BC于点E．

（1）小敏在线段BC上取一点M，连接AM，旋转中发现：若AD平分∠BAM，则AE也平分∠MAC．请你证明小敏发现的结论；

（2）当0°＜α≤45°时，小敏在旋转中还发现线段BD、CE、DE之间存在如下等量关系：BD²+CE²=DE²．同组的小颖和小亮随后想出了相同的方法进行解决：将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF（如图2）；请证明小敏的发现的是正确的．

Answer

见解析

【解析】试题分析：（1）如图1，根据图形、已知条件推知∠BAD+∠MAE=∠DAM+∠EAC=45°，所以∠MAE=∠EAC，即AE平分∠MAC；（2）小颖的方法是应用折叠对称的性质和SAS得到△AEF≌△AEC，在Rt△OCE中应用勾股定理而证明；小亮的方法是将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACG，根据旋转的性质用SAS得到△ACE≌△ACG，从而在Rt△CEG中应用勾股定理而证明．

试题解析：1）证明：如图1，∵∠BAC=90°，

∴∠BAD+∠DAM+∠MAE+∠EAC=90°．

∵∠DAE=45°，

∴∠BAD+∠EAC=45°．

∵∠BAD=∠DAM，

∴∠BAD+∠EAC=∠DAM+∠EAC=45°，

∴∠BAD+∠MAE=∠DAM+∠EAC，

∴∠MAE=∠EAC，即AE平分∠MAC；

（2）如图2，连接EF．

由折叠可知，∠BAD＝∠FAD，AB＝AF，BD＝DF，

∵∠BAD＝∠FAD，

∴由（1）可知，∠CAE=∠FAE．

在△AEF和△AEC中，

∵ AF=AC，∠FAE=∠CAE，AE=AE ，

∴△AEF≌△AEC（SAS），

∴CE=FE，∠AFE=∠C=45°．

∴∠DFE＝∠AFD＋∠AFE＝90°．

在Rt△DFE中，DF2+FE2=DE2，

∴BD2+CE2=DE2． （利用旋转的方法证明相应给分）

考点：1．全等三角形的判定与性质；2．勾股定理；3．等腰直角三角形．