Question

如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ ACB＝90°，AE平分∠BAC交BC于E，BD⊥AE于D，DF⊥AC交AC的延长线于F，连接CD，给出四个结论：①∠ADC＝45°；②BD＝AE；③AC＋CE＝AB；④AB—BC＝2FC；其中正确的结论有（    ）

A. 1个    B. 2个    C. 3个    D. 4个

Answer

D

【解析】试题分析：过点E作EQ⊥AB于Q，∵∠ACB=90°，AE平分∠CAB，∴CE=EQ，∵∠ACB=90°，AC=BC ∴∠CBA=∠CAB=45° ∵EQ⊥AB ∴∠EQA=∠EQB=90° 由勾股定理可得AC=AQ ∴∠QEB=45°=∠CBA

∴EQ=BQ ∴AB=AQ+BQ=AC+CE ∴③正确

作∠ACN=∠BCD，交AD于N，∵∠CAD=∠CAB=22.5°=∠BAD ∴∠ABD=67.5° ∴∠DBC=22.5°=∠CAD

∴∠DBC=∠CAD ∵AC=BC ∠ACN=∠DCB ∴△ACN≌△BCD ∴CN=CD AN=BD ∵∠ACN+∠NCE=90°

∴∠NCB+∠BCD=90° ∴∠CND=∠CDA=45° ∴∠ACN=22.5°=∠CAN ∴AN=CN ∴∠NCE=∠AEC=67.5°

∴CN=NE ∴CD-AN=EN=AE ∵AN=BD ∴BD=AE ∴①正确 ②正确.

过D作DH⊥AB于H，∵∠FCD=∠CAD+∠CDA=67.5° ∠DBA=90°－∠DAB=67.5° ∴∠FCD=∠DBA

∵AE平分∠CAB DF⊥AC，DH⊥AB，∴DF=DH ∴△DCF≌△DBH ∴BH=CF 由勾股定理可得：AF=AH

∴，∴AC+AB=2AF AC+AB=2AC+2CF

AB－AC=2CF ∵AC=CB ∴AB－CB=2CF ∴④正确.

考点：三角形全等的判定及性质、勾股定理.