Question

如图，点与分别是两个函数图象与上的任一点．当时，有成立，则称这两个函数在上是“相邻函数”，否则称它们在上是“非相邻函数”．例如，点与分别是两个函数与图象上的任一点，当时， ，通过构造函数并研究它在上的性质，得到该函数值得范围是，所以成立，因此这两个函数在上是“相邻函数”．

（）判断函数与在上是否为“相邻函数”，并说明理由．

（）若函数与在上是“相邻函数”，求的取值范围．

（）若函数与在上是“相邻函数”，直接写出的最大值与最小值．

Answer

（1）见解析（2）；（3）的最大值为， 的最小值为．

【解析】（1）直接利用相邻函数的定义结合一次函数增减性，得出当x=0时，函数有最大值1，当x=-2时，函数有最小值-1，即-1≤y≤1,进而判断即可；

（2）直接利用相邻函数的定义结合二次函数增减性，得出当x=1时，函数有最大值a-1，当x=0，或x=2时，函数有最大值a，即a-1≤y≤a,进而判断即可；

（3）直接利用相邻函数的定义结合函数增减性，得出当x=1时，函数有最大值a-2，当x=2时，函数有最大值，即a-2≤y≤,进而判断即可．

【解析】
（）函数与，在上为“相邻函数”．

∵，

∴为相邻函数．

（）

．

∴．

①当，即时．

，

∴无解．

②，即时，

∴．

③即时．

．

∴无解．

④当即时．

，

∴，无解．

综上所得： ．

（）∵当时．

时， ．

∴，

∴．

当时，

时．

∴，

∴．

综上所得： 与在上，

是“相邻函数”时．

的最大值为．

的最小值为．

“点睛”此题主要考查了函数的综合以及函数增减性和新定义，根据题意正确理解“相邻函数”的定义是解题关键．