在平面直角坐标系中,过一点分别作坐标轴的垂线,若与坐标轴围成矩形的周长与面积相等,则这个点叫做和谐点.例如,图中过点P分别作x轴、y轴的垂线,与坐标轴围成矩形OAPB的周长与面积相等,则点P是和谐点.
(1)判断点M(1,2), N(4,4)是否为和谐点,并说明理由;
(2)若和谐点P(a,3)在直线y=-x+b(b为常数)上,求a,b的值;
(3)若直线y=2x+12上存在和谐点,写出此点的坐标:( ).
在由m×n(m×n>1)个小正方形组成的矩形网格中,研究它的一条对角线所穿过的小正方形个数f,
(1)当m、n互质(m、n除1外无其他公因数)时,观察下列图形并完成下表:
m | n | m+n | f |
1 | 2 | 3 | 2 |
1 | 3 | 4 | 3 |
2 | 3 | 5 | 4 |
2 | 5 | 7 | 6 |
3 | 4 | 7 | 6 |
猜想:当m、n互质时,在m×n的矩形网格中,一条对角线所穿过的小正方形的个数f与m、n的关系式是 (不需要证明);
(2)当m、n不互质时,请画图验证你猜想的关系式是否依然成立.
为了弘扬“中国梦”,某校初三(1)班和(2)班各5名学生参加以“诚信友善”为主题的演讲比赛活动,根据他们的得分情况绘制如下的统计图:
(1)求初三(1)班5名同学得分的平均数和初三(2)班5名同学得分的众数;
(2)你认为哪个班5名同学参赛的整体成绩要好些?为什么?
(3)如果在每班参加复赛的选手中分别选出2人参加决赛,你认为哪个班的实力更强一些,说明理由.
勾股定理神秘而美妙,它的证法多样,其巧妙各有不同,其中的“面积法”给了小聪灵感.他惊喜地发现:当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时,都可以用“面积法”来证明.下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程:
将两个全等的直角三角形按图1摆放,其中∠DAB=90°,求证:a2+b2=c2.
证明:连接DB,过点D作BC边上的高DF,则DF=EC=b-a.
∵S四边形ADCB=S△ACD+S△ABC=b2+ab.
又∵S四边形ADCB=S△ADB+S△DCB=c2+a(b-a),
∴b2+ab=c2+a(b-a),
∴a2+b2=c2.
请参照上述证法,利用图2完成下面的证明:
将两个全等的直角三角形按图2所示摆放,其中∠DAB=90°.
求证:a2+b2=c2.
证明:连接 ,
∵S五边形ACBED= ,
又∵S五边形ACBED= ,
∴ ,
∴a2+b2=c2.
如图,在▱ABCD中,点O是对角线AC、BD的交点,点E是边CD的中点,点F在BC的延长线上,且CF=BC,求证:四边形OCFE是平行四边形.
点A、B、C、D的坐标如图所示,求直线AB与直线CD的交点坐标.