Question

问题发现：

（）如图①，点和点均在⊙上，且，点和点均在射线上，若，则点与⊙的位置关系是__________；若，则点与⊙的位置关系是__________．

问题解决：

如图②，图③所示，四边形中， ， ， ，且， ，点是边上任意一点．

（）当时，求的长度．

（）是否存在点，使得最大?若存在，请说明理由，并求出的长度；若不存在，请说明理由．

Answer

（）点在圆上，点在圆外；（）或；（）当有最大值时， 长为．

【解析】试题分析：（1）根据题意得：点在圆上，点在圆外；

（2）以AD为斜边等腰直角三角形AOD ，以点O为圆心，OA为半径作⊙O交BC于点E．在RtΔAOD中可计算OA=2，连接OP，则OP=PA=2，过点作于点，可求出BO=2，再进而求出BC的值，确定点P的个数；

（3）存在.

试题解析：（1）点在圆上，点在圆外；

（）以为斜边等腰直角三角形，

以点为圆心， 为半径作⊙交于点．

在中，∵，∴ ，

连接，则，过点作于点，

∵， ，∴ ．

又∵，∴四边形为矩形，

∴， ．

在中， ，

∴．

又∵经计算，

∴符合条件的点有个．

的长为或．

（）存在，作的中垂线，交于，交于，在上取点，

以为半径作⊙，当⊙与相切于点时， 最大．

理由:在上任取一点，连接， 交⊙于，连接，

∵是的外角，

∴，

连接，延长与的延长线交于点．

∵， ，∴ ，

∴和均为等腰直角三角形．

∴， ， ．

∵， ，

∵⊙与相切于点，

∴，∴ ，

又∵，

∴为等腰直角三角形．

∴设，则，

在中， ，

∴，

解得： （舍），，

∴，

∴当有最大值时， 长为．