Question

在△ABC中， , .将△ABC绕点顺时针旋转，得到△A₁B₁C.

（1）如图1，当点恰好在线段的延长线上时，

①求证：BB₁∥CA₁;

②求△AB₁C的面积;

（2）如图2，点是上的中点，点为线段上的动点.在△ABC绕点顺时针旋转过程中，点的对应点是.求线段长度的最大值与最小值的差.

Answer

（1）证明见解析；（2）；（3）.

【解析】试题分析：（1）①根据旋转的性质和平行线的性质证明；

②过A作AF⊥BC于F，过C作CE⊥AB于E，根据等腰三角形的性质和三角形的面积公式解答；

（2）过C作CF⊥AB于F，以C为圆心CF为半径画圆交BC于F1，和以C为圆心BC为半径画圆交BC的延长线于F1，得出最大和最小值解答即可．

试题解析：（1）①证明：∵AB=AC，B1C=BC，

∴∠AB1C=∠B，∠B=∠ACB，

∵∠AB1C=∠ACB（旋转角相等），

∴∠B1CA1=∠AB1C，

∴BB1∥CA1；

②过A作AF⊥BC于F，过C作CE⊥AB于E，如图1：

∵AB=AC，AF⊥BC，BC=6，

∴BF=CF=3，

∴B1C=BC=6，

可得：B1B=2BE，

∵EC=，

∴BE=，则BB1=，

故AB1=﹣5=，

∴△AB1C的面积为： ；

（2）如图2，过C作CF⊥AB于F，以C为圆心CF为半径画圆交BC于F1，EF1有最小值，

此时在Rt△BFC中，CF=，

∴CF1=，

∴EF1的最小值为﹣3=；

如图，以C为圆心BC为半径画圆交BC的延长线于F1，EF1有最大值；

此时EF1=EC+CF1=3+6=9，

∴线段EF1的最大值与最小值的差为9﹣=．