Question

如图，在直角坐标系中，Rt△OAB的直角顶点A在x轴上，OA=4，AB=3．动

点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿AO向终点O移动；同时点N从点O出发，以每秒1．25个单位长度的速度，沿OB向终点B移动．当两个动点运动了x秒（0＜x＜4）时，解答下列问题：

（1）求点N的坐标（用含x的代数式表示）；

（2）设△OMN的面积是S，求S与x之间的函数表达式；当x为何值时，S有最大值？最大值是多少？

（3）在两个动点运动过程中，是否存在某一时刻，使△OMN是直角三角形？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）点N的坐标是（x， ）（2）S=﹣（x﹣2）2+，当x=2时，S有最大值，最大值是；（3）存在，x的值是2秒或秒．

【解析】试题分析：（1）作NP⊥OA于P，利用NP∥AB，得出△OPN∽△OAB，然后利用相似三角形的性质用x表示出OP=x，PN= ，即可；（2）用x表示出OM和OM边上的高PN的长，然后代入 S=OM•PN化简即可，利用配方法得出二次函数的顶点坐标，即可得出结论；（3）分①∠OMN=90°和②∠ONM=90°两种情况讨论，根据条件分别证明△OMN∽△OAB，△OMN∽△OBA，然后利用相似三角形的性质即可得出x的值．

试题解析：（1）根据题意得：MA=x，ON=1．25x，

在Rt△OAB中，由勾股定理得：OB=

作NP⊥OA于P，如图1所示：

则NP∥AB，∴△OPN∽△OAB，

∴，即，

解得：OP=x，PN= ，

∴点N的坐标是（x， ）；

（2）在△OMN中，OM=4﹣x，OM边上的高PN= ，

∴S=OM•PN=（4﹣x）• =﹣x2+x，

∴S与x之间的函数表达式为S=﹣x2+x（0＜x＜4），

配方得：S=﹣（x﹣2）2+，

∵﹣＜0，∴S有最大值，

当x=2时，S有最大值，最大值是；

（3）存在某一时刻，使△OMN是直角三角形，理由如下：

分两种情况：①若∠OMN=90°，如图2所示：

则MN∥AB，此时OM=4﹣x，ON=1．25x，

∵MN∥AB，∴△OMN∽△OAB，

∴，即，

解得：x=2；

②若∠ONM=90°，如图3所示：

则∠ONM=∠OAB，

此时OM=4﹣x，ON=1．25x，

∵∠ONM=∠OAB，∠MON=∠BOA，

∴△OMN∽△OBA，

∴，即，

解得：x=；

综上所述：x的值是2秒或秒．

考点：1．相似三角形的判定与性质2．二次函数的性质3．二次函数与几何知识的综合．