Question

（本题14分）如图，点A和动点P在直线上，点P关于点A的对称点为Q，以AQ为边作Rt△ABQ，使∠BAQ=90°，AQ:AB=3:4，作△ABQ的外接圆O。点C在点P右侧，PC=4，过点C作直线⊥，过点O作OD⊥于点D，交AB右侧的圆弧于点E。在射线CD上取点F，使DF=CD，以DE，DF为邻边作矩形DEGF，设AQ=

（1）用关于的代数式表示BQ，DF；

（2）当点P在点A右侧时，若矩形DEGF的面积等于90，求AP的长；

（3）在点P的整个运动过程中，

①当AP为何值时，矩形DEGF是正方形？

②作直线BG交⊙O于另一点N，若BN的弦心距为1，求AP的长（直接写出答案）

Answer

BQ=5x，DF=3x；AP=9；AP为12或或3时，矩形DEGF是正方形；AP的长为6或.

【解析】试题分析：（1）根据Rt△ABQ中AQ:AB=3:4得出AQ=3x，AB=4x，BQ=5x，根据CD⊥m，l⊥m得出OD∥l，则OB=OQ，AH=BH=2x，则CD=2x，则FD=CD=3x；（2）AP=AQ=3x PC=4 ∴CQ="6x+4" 作OM⊥AQ于点M（如图①）根据外接圆的性质得出∠BAQ=90°，则点O是BQ的中点，则QM=AM=x，则OD=MC=x+4，OE=x，ED=2x+4，根据矩形的面积求出x的值，从而的好粗AP的长度；（3）①当矩形为正方形时，则ED=FD，点P在点A的右侧时，画出图形得出2x+4=3x，得出x的值和AP的长度；点P在点A的左侧时，当点C在点Q右侧当 0＜x＜时，画出图形得出ED=4－7x，FD=3x，求出x的值和AP的长度；当≤x＜时， ED=7－4x，DF=3x，从而求出x的值；当点C在点Q左侧时，即x≥画出图形可得：DE=7x－4，DF=3x，然后求出x的值和AP的长度；②、连结NQ，有点O到BN的弦心距为1得：NQ=2，当点N在AB的左侧时画出图形，过点B作BM⊥EG于点M，根据GM=x，BM=x得出∠GBM=45°，根据BM∥AQ，decubitusAI="AB=4x" ，IQ=x，NQ==2，从而求出x的值，得出AP的长度；当点N在AB的右侧时，画出图形，然后利用同样的方法求出AP的长度.

试题解析：（1）在Rt△ABQ中，∵AQ:AB=3:4 ∴AQ=3x ∴AB=4x BQ=5x

又∵CD⊥m，l⊥m ∴OD∥l ∵OB=OQ ∴AH=BH=AB=2x ∴CD=2x ∴FD=CD=3x

（2）∵AP=AQ=3x PC=4 ∴CQ=6x+4 作OM⊥AQ于点M（如图①） ∴OM∥AB

∵O是△ABQ的外接圆 ∠BAQ=90° ∴点O是BQ的中点 ∴QM=AM=x ∴OD=MC=x+4

∴OE=BQ=x ∴ED=2x+4 ∴矩形DEGF的面积=DF·DE=3x（2x+4）=90

∴=－5（舍去）=3 ∴AP=3x=9

（3）①若矩形DEGF是正方形 则ED=FD

I、点P在点A的右侧时（如图①） ∴2x+4=3x，解得：x=4 ∴AP=3x=12

II、点P在点A的左侧时 当点C在点Q右侧 0＜x＜时（如图②） ∵ED=4－7x，FD=3x

∴4－7x=3x 解得：x=∴AP=

当≤x＜时（如图③） ED=7－4x，DF=3x ∴7－4x=3x 解得：x=1（舍去）

当点C在点Q左侧时，即x≥（如图④） DE=7x－4 DF=3x ∴7x－4=3x 解得：x=1 ∴AP=3

综上所述：当AP为12或或3时，矩形DEGF是正方形

②、AP的长为6或

连结NQ，有点O到BN的弦心距为1得：NQ=2

当点N在AB的左侧时（如图⑤） 过点B作BM⊥EG于点M ∵GM=x，BM=x ∴∠GBM=45°

∴BM∥AQ，∴AI=AB=4x ∴IQ=x ∴NQ==2 ∴x=2∴AP=6

当点N在AB的右侧时（如图⑥），过点B作BJ⊥GE于点J ∵GJ=x，BJ=4x ∴tan∠GBJ=

∴AI=16x ∴QI=19x ∴NQ==2 ∴x=∴AP=.

考点：分类讨论思想、矩形的性质、正方形的性质、圆的性质、平面直角坐标系.