Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O，与斜边AB交于点D、E为BC边的中点，连接DE．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）填空：①若∠B=30°，AC=2，则DE=　   　；

②当∠B=　   　°时，以O，D，E，C为顶点的四边形是正方形．

Answer

（1）证明就解析；（2）①3；②45．

【解析】试题分析：（1）运用垂径定理、直角三角形的性质证明∠ODE=90°即可解决问题；

（2）①直接利用锐角三角函数关系得出BC的长，再利用直角三角形的性质得出DE的长；

②当∠B=45°时，四边形ODEC是正方形，由等腰三角形的性质，得到∠ODA=∠A=45°，于是∠DOC=90°然后根据有一组邻边相等的矩形是正方形，即可得到结论．

试题解析：（1）连接OD．

∵AC是直径，∴∠ADC=90°，∴∠CDB=90°，

又∵E为BC边的中点，∴DE为直角△DCB斜边的中线，∴DE=CE= ．∴∠DCE=∠CDE，

∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC，∴∠ODC+∠CDE=∠OCD+∠DCE=∠ACB=90°，∴∠ODE=90°

∴DE是⊙O的切线．

（2）①∵∠B=30°，AC=2 ，∠BCA=90°，∴tan30°= =，解得：BC=6，

则DE=BC=3；

故答案为：3；

②当∠B=45°时，四边形ODEC是正方形，

∵∠ACB=90°，∴∠A=45°，

∵OA=OD，∴∠ADO=45°，∴∠AOD=90°，∴∠DOC=90°，

∵∠ODE=90°，∴四边形DECO是矩形，

∵OD=OC，∴矩形DECO是正方形．

故答案为：45．