Question

△ADE中，AE=AD，∠EAD=90°．

（1）如图（1），若EC、DB分别平分∠AED、∠ADE，交AD、AE于点C、B，连接BC．请你判断AB、AC是否相等，并说明理由；

（2）△ADE的位置保持不变，将（1）中的△ABC绕点A逆时针旋转至图

（2）的位置，CD、BE相交于O，请你判断线段BE与CD的位置关系及数量关系，并说明理由；

（3）在（2）的条件下，若CD=6，试求四边形CEDB的面积．

Answer

（1）理由见解析；（2）理由见解析；（3）18.

【解析】分析：（1）由已知得∠AEC=∠ADB，AE=AD，∠A=∠A，利用“ASA”证明△AEC≌△ADB即可；（2）BE=CD且BE⊥CD．由旋转的性质可证△AEB≌△ADC，从而可得BE=CD，再利用角的相等关系，互余关系证明BE⊥CD；（3）由于BE⊥CD，BE=CD=6，当四边形的对角线互相垂直时，四边形的面积等于对角线积的一半．

本题解析：

(1)AB=AC.

理由如下：

∵EC、DB分别平分∠AED、∠ADE

∴∠AEC=∠AED,∠ADB=∠ADE

∵∠AED=∠ADE

∴∠AEC=∠ADB

在△AEC和△ADB中，

∠AEC=∠ADB，AE=AD，∠A=∠A

∴△AEC≌△ADB

∴AB=AC；

(2)BE=CD且BE⊥CD.

理由如下：

∵∠EAD=∠BAC

∴∠EAB=∠DAC

在△AEB和△ADC中，

，

∴△AEB≌△ADC(SAS)

∴EB=CD

∴∠AEB=∠ADC

∵∠AEB+∠DEB+∠ADE=90°

∴∠ADC+∠DEB+∠ADE=90°

∵∠ADC+∠DEB+∠ADE+∠DOE=180°

∴∠DOE=90°

∴BE⊥CD；

(3)四边形CEDB的面积=×BE×CD= =18.

点睛：本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是要学会运用角的相等关系，线段的相等关系将问题进行转化.