Question

如图1，在平面直角坐标系， 为坐标原点，点,点.

（1）求的度数；

（2）如图1，将⊿绕点顺时针得⊿，当恰好落在边上时，设⊿的面积为,⊿的面积为,与有何关系？为什么？

（3）若将⊿绕点顺时针旋转到如图2所示的位置， 与的关系发生变化了吗？证明你的判断.

Answer

（1）；

（2），理由见解析；

（3）与的关系没变,即，理由见解析.

【解析】试题分析：本题的⑴问求的度数化归在△来解决，根据点,点容易求出的长度，利用三角函数的定义计算出三角函数值，从而求出该角的度数.

本题的⑵问抓住⊿和⊿的边是同一三角形⊿的边;根据旋转的特征可以推出,结合⑴问容易推出三角形⊿是等边三角形，等边三角形不但三边相等，而且三边上的高也是相等的，我们利用“等底等高的三角形”的结论容易判断出.

本题的⑶问也抓住根据旋转的特征可以推出⊿和⊿的边；其实我们只需找到边上高相等；而边上的高可以化在两个三角形中，通过全等三角形可以证得其高相等，再利用“等底等高的三角形”的结论容易判断出.（本问也可以用相似形的相关知识使问题获得解决.）

试题解析：（1）∵点,点

∴

又

∴

∴

（2）.

理由如下：

根据旋转的征可知： .又

∴⊿是等边三角形

∴

∴∥轴

∴点到轴的距离相等（图中）

∵等边⊿的三条高都相等（图中）

∴点到的距离等于点到轴的距离（图中）

∴（等底等高的三角形面积相等）

（3）与的关系没变,即.

理由如下：

过点作于,过点作 于.

∴

根据题意可知：

根据旋转的征可知：

∴

∴

∴⊿≌⊿（）

∴

又∵

∴（等底等高的三角形面积相等）

点睛：本题的⑴问通过计算三角函数值来求角度是一种比较常见的破题思路.本题的⑵⑶问在“等底等高”的情况下来解决问题；都是在“等底”的情况下，关键是得到“等高”的途径不一样，⑵问是通过等边三角形来推出的，⑶问是通过全等三角形来得到的（也可以用相似形知识进行转换），殊途同归.