Question

如果一个正整数能表示成两个连续偶数的平方差，那么这个正整数为“神秘数”.

如：

因此，4，12，20这三个数都是神秘数.

（1）28和2012这两个数是不是神秘数？为什么？

（2）设两个连续偶数为和(其中为非负整数)，由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数，请说明理由.

（3）两个连续奇数的平方差（取正数）是不是神秘数？请说明理由.

Answer

(1)28和2012是神秘数（2）是4的倍数（3）8k不能整除8k+4

【解析】试题分析：（1）根据“神秘数”的定义，只需看能否把28和2012这两个数写成两个连续偶数的平方差即可判断；

（2）运用平方差公式进行计算，进而判断即可；

（3）运用平方差公式进行计算，进而判断即可．

试题解析：1、28=4×7=8²-6²

2012=4×503=504²-502²

∴这两个数都是神秘数

2、 （2k+2）²-（2k）²

=（2k+2-2k）（2k+2+2k）

=2×[2（k+1+k）]

=4（2k+1）

∴由2k+2和2k构造的神秘数是4的倍数

3、设两个连续奇数为2k+1和2k-1，

则（2k+1）²-（2k-1）²

=（2k+1+2k-1）（2k+1-2k+1）

=4k×2

=8k，

∴两个连续奇数的平方差不是神秘数

考点：完全平方公式；平方差公式．