Question

如图：E在线段CD上，EA、EB分别平分∠DAB和∠CBA，∠AEB=90°，设AD=x，BC=y，且（x﹣3）²+|y﹣4|=0．

（1）求AD和BC的长；

（2）你认为AD和BC还有什么关系？并验证你的结论；

（3）你能求出AB的长度吗？若能，请写出推理过程；若不能，请说明理由．

Answer

（1）AD=3，BC=4．（2）AD∥BC，（3）能．

【解析】试题分析：（1）根据题意可知x﹣3=0，y﹣4=0，易求解AD和BC的长；

（2）根据∠AEB=90°，可得∠EAB+∠EBA=90°，因为EA、EB分别平分∠DAB和∠CBA，则∠DAB+∠ABC=180°，所以AD∥BC；

（3）如图，过E作EF∥AD，交AB于F，则∠DAE=∠AEF，∠EBC=∠BEF，因为EA、EB分别平分∠DAB和∠CBA，所以AF=EF=FB，再根据梯形中位线定理易求AB的长．

试题解析：（1）∵AD=x，BC=y，且（x﹣3）2+|y﹣4|=0，

∴AD=3，BC=4．

（2）AD∥BC，

理由是：∵在△AEB中，∠AEB=90°，

∴∠EAB+∠EBA=90°，

又∵EA、EB分别平分∠DAB和∠CBA，

∴∠DAB+∠ABC=180°．

∴AD∥BC．

（3）能．

如图，过E作EF∥AD，交AB于F，

∵AD∥BC（已证），EF∥AD，

∴AD∥EF∥BC，

则∠DAE=∠AEF，∠EBC=∠BEF，

∵EA、EB分别平分∠DAB和∠CBA，

∴∠EAF=∠AEF，∠EBF=∠BEF，

∴AF=EF=FB，

又∵EF∥AD∥BC，

∴EF是梯形ABCD的中位线，

∴EF=，

∴AB=7．