Question

（本题10分）如图，过抛物线上一点A作轴的平行线，交抛物线于另一点B，交轴于点C，已知点A的横坐标为．

（1）求抛物线的对称轴和点B的坐标；

（2）在AB上任取一点P，连结OP，作点C关于直线OP的对称点D；

①连结BD，求BD的最小值；

②当点D落在抛物线的对称轴上，且在轴上方时，求直线PD的函数表达式．

Answer

(1)x=4；B（10，5）．（2）①．②y=﹣x+．

【解析】

试题分析：（1）确定点A的坐标，利用对称轴公式求出对称轴，再根据对称性可得点B坐标；

（2）①由题意点D在以O为圆心OC为半径的圆上，推出当O、D、B共线时，BD的最小值=OB﹣OD；

②当点D在对称轴上时，在Rt△OD=OC=5，OE=4，可得DE==3，求出P、D的坐标即可解决问题.

试题解析：（1）由题意A（﹣2，5），对称轴x=﹣=4，

∵A、B关于对称轴对称，

∴B（10，5）．

（2）①如图1中，

由题意点D在以O为圆心OC为半径的圆上，

∴当O、D、B共线时，BD的最小值=OB﹣OD=．

②如图2中，

图2

当点D在对称轴上时，在Rt△ODE中，OD=OC=5，OE=4，

∴DE==3，

∴点D的坐标为（4，3）．

设PC=PD=x，在Rt△PDK中，x2=（4﹣x）2+22，

∴x=，

∴P（，5），

∴直线PD的解析式为y=﹣x+．

考点：抛物线与x轴的交点；待定系数法求二次函数解析式．