Question

已知O为直线MN上一点，OP⊥MN，在等腰Rt△ABO中，∠BAO=90°，AC∥OP交OM于C，D为OB的中点，DE⊥DC交MN于E．

（1）如图1，若点B在OP上，则

①AC  OE（填“＜”，“=”或“＞”）；

②线段CA、CO、CD满足的等量关系式是  ；

（2）将图1中的等腰Rt△ABO绕O点顺时针旋转α（0°＜α＜45°），如图2，那么（1）中的结论②是否成立？请说明理由；

（3）将图1中的等腰Rt△ABO绕O点顺时针旋转α（45°＜α＜90°），请你在图3中画出图形，并直接写出线段CA、CO、CD满足的等量关系式    ．

Answer

(1). ①AC=OE, ②线段CA、CO、CD满足的等量关系式是 AC2+CO2=CD²; （2）.（1）中的结论②不成立，理由见解析；（3）线段CA、CO、CD满足的等量关系式OC﹣AC=CD．

【解析】

试题分析：（1）①如图1，证明AC=OC和OC=OE可得结论；②根据勾股定理可得：AC2+CO2=CD2；（2）如图2，（1）中的结论②不成立，作辅助线，构建全等三角形，证明A、D、O、C四点共圆，得∠ACD=∠AOB，同理得：∠EFO=∠EDO，再证明△ACO≌△EOF，得OE=AC，AO=EF，根据勾股定理得：AC2+OC2=FO2+OE2=EF2，由直角三角形中最长边为斜边可得结论；（3）如图3，连接AD，则AD=OD证明△ACD≌△OED，根据△CDE是等腰直角三角形，得CE2=2CD2，等量代换可得结论（OC﹣OE）2=（OC﹣AC）2=2CD2，开方后是：OC﹣AC=CD．

试题解析：（1）①AC=OE，

理由：如图1，∵在等腰Rt△ABO中，∠BAO=90°，∴∠ABO=∠AOB=45°，

∵OP⊥MN，∴∠COP=90°，∴∠AOC=45°，

∵AC∥OP，∴∠CAO=∠AOB=45°，∠ACO=∠POE=90°，∴AC=OC，

连接AD，

∵BD=OD，∴AD=OD，AD⊥OB，∴AD∥OC，∴四边形ADOC是正方形，∴∠DCO=45°，

∴AC=OD，∴∠DEO=45°，∴CD=DE，∴OC=OE，

∴AC=OE；

②在Rt△CDO中，

∵CD2=OC2+OD2，∴CD2=AC2+OC2；

故答案为：AC2+CO2=CD2；

（2）如图2，（1）中的结论②不成立，

理由是：

连接AD，延长CD交OP于F，连接EF，

∵AB=AO，D为OB的中点，∴AD⊥OB，∴∠ADO=90°，

∵∠CDE=90°，∴∠ADO=∠CDE，∴∠ADO﹣∠CDO=∠CDE﹣∠CDO，即∠ADC=∠EDO，

∵∠ADO=∠ACO=90°，∴∠ADO+∠ACO=180°，∴A、D、O、C四点共圆，∴∠ACD=∠AOB，

同理得：∠EFO=∠EDO，∴∠EFO=∠AOC，

∵△ABO是等腰直角三角形，∴∠AOB=45°，∴∠DCO=45°，∴△COF和△CDE是等腰直角三角形，

∴OC=OF，∵∠ACO=∠EOF=90°，∴△ACO≌△EOF，∴OE=AC，AO=EF，∴AC2+OC2=FO2+OE2=EF2，

Rt△DEF中，EF＞DE=DC，∴AC2+OC2＞DC2，

所以（1）中的结论②不成立；

（3）如图3，结论：OC﹣CA=CD，

理由是：连接AD，则AD=OD，

同理：∠ADC=∠EDO，

∵∠CAB+∠CAO=∠CAO+∠AOC=90°，∴∠CAB=∠AOC，

∵∠DAB=∠AOD=45°，∴∠DAB﹣∠CAB=∠AOD﹣∠AOC，

即∠DAC=∠DOE，∴△ACD≌△OED，∴AC=OE，CD=DE，∴△CDE是等腰直角三角形，

∴CE2=2CD2，∴（OC﹣OE）2=（OC﹣AC）2=2CD2，∴OC﹣AC=CD，

故答案为：OC﹣AC=CD．

考点：几何变换的综合题