Question

在四边形ABDC中，AC＝AB，DC＝DB，∠CAB＝60°，∠CDB＝120°，E是AC上一点，F是AB延长线上一点，且CE＝BF．

（1）试说明：DE＝DF；

（2）在图中，若G在AB上且∠EDG＝60°，试猜想CE、EG、BG之间的数量关系并证明所归纳结论；

（3）若题中条件“∠CAB＝60°，∠CDB＝120°”改为∠CAB＝α，∠CDB＝180°－α，G在AB上，∠EDG满足什么条件时，(2)中结论仍然成立？（只写结果不要证明）．

Answer

（1）证明见解析；

（2）CE、EG、BG之间的数量关系为：CE+BG=EG，证明见解析；

（3）当∠EDG=90°﹣α时， CE+BG=EG仍然成立．

【解析】试题分析：（1）首先判断出∠C=∠DBF，然后根据全等三角形判定的方法，判断出△CDE≌△BDF，即可判断出DE=DF．（2）猜想CE、EG、BG之间的数量关系为：CE+BG=EG．首先根据全等三角形判定的方法，判断出△ABD≌△ACD，即可判断出∠BDA=∠CDA=60°；然后根据∠EDG=60°，可得∠CDE=∠ADG，∠ADE=∠BDG，再根据∠CDE=∠BDF，判断出∠EDG=∠FDG，据此推得△DEG≌△DFG，所以EG=FG，最后根据CE=BF，判断出CE+BG=EG即可．（3）根据（2）的证明过程，要使CE+BG=EG仍然成立，则∠EDG=∠BDA=∠CDA=∠CDB，即∠EDG=（180°-α）=90°-α，据此解答即可．

试题解析：（1）：∵∠CAB+∠C+∠CDB+∠ABD=360°，∠CAB=60°，∠CDB=120°，

∴∠C+∠ABD=360°﹣60°﹣120°=180°，

又∵∠DBF+∠ABD=180°，

∴∠C=∠DBF，

在△CDE和△BDF中，

（SAS）

∴△CDE≌△BDF，

∴DE=DF．

(2)【解析】
如图1，连接AD，猜想CE、EG、BG之间的数量关系为：CE+BG=EG．

证明：在△ABD和△ACD中，

（SSS）

∴△ABD≌△ACD，

∴∠BDA=∠CDA=∠CDB=×120°=60°，

又∵∠EDG=60°，

∴∠CDE=∠ADG，∠ADE=∠BDG，

由（1），可得△CDE≌△BDF，

∴∠CDE=∠BDF，

∴∠BDG+∠BDF=60°，

即∠FDG=60°，

∴∠EDG=∠FDG，

在△DEG和△DFG中，

∴△DEG≌△DFG，

∴EG=FG，

又∵CE=BF，FG=BF+BG，

∴CE+BG=EG；

(3)【解析】
要使CE+BG=EG仍然成立，

则∠EDG=∠BDA=∠CDA=∠CDB，

即∠EDG=（180°﹣α）=90°﹣α，

∴当∠EDG=90°﹣α时， CE+BG=EG仍然成立．

点睛：本题综合考查了全等三角形的性质和判定，此题是一道综合性较强的题目，由一定的难度，能根据题意推出规律是解决此题的关键.