Question

已知：∠MON＝80°，OE平分∠MON，点A、B、C分别是射线OM、OE、ON上的动点（A、B、C不与点O重合），连接AC交射线OE于点D．设∠OAC＝α．

（1）如图1，若AB∥ON，则：

①∠ABO的度数是          ；

②如图2，当∠BAD＝∠ABD时，试求α的值（要说明理由）；

（2）如图3，若AB⊥OM，则是否存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角？若存在，直接写出α的值；若不存在，说明理由．（自己画图）

Answer

（1）①40°；②α=60°；

（2）存在这样的α， α=10°、25°、40°．

【解析】试题分析：（1）①利用角平分线的性质求出∠ABO的度数；②利用角平分线的性质和平行线的性质求得∠OAC=60°；（2）需要分类讨论：当点D在线段OB上和点D在射线BE上两种情况．

试题解析： (1)①∵∠MON=80°，OE平分∠MON，

∴∠AOB=∠BON=40°，

∵AB∥ON，

∴∠ABO=40°

故答案是：40°；

②如答图1,

∵∠MON=80°，且OE平分∠MON，

∴∠1=∠2=40°，

又∵AB∥ON,

∴∠3=∠1=40°，

∵∠BAD=∠ABD，

∴∠BAD=40°

∴∠4=80°，

∴∠OAC=60°,即x=60°.

(2)存在这样的x,

①如答图2，

当点D在线段OB上时，

若∠BAD=∠ABD,则x=40°；

若∠BAD=∠BDA,则x=25°；

若∠ADB=∠ABD,则x=10°.

②如答图3,

当点D在射线BE上时,因为∠ABE=130°,且三角形的内角和为180°，

所以只有∠BAD=∠BDA,此时x=130°，C不在ON上，舍去；   

综上可知，存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角，

且x=10°、25°、40°.

点睛：本题考查平行线的性质、三角形的内角和定理和三角形的外角性质的应用，注意：三角形的内角和为180°，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.