Question

如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于E，BD交CE于F.

（1）求证：CF=BF

（2）若CD=6，AC=8，求BE、CF的长.

Answer

（1）证明见解析；（2）

【解析】试题分析：（1）由AB是⊙O的直径得到∠ACB﹦90°，再由CE⊥AB得出∠CEB﹦90°  ，即可得出∠BCE﹦∠A ，又由C是弧BD的中点得出∠CBD﹦∠A ，根据等量代换得出∠BCF﹦∠CBF，再根据等角对等边得出 CF﹦BF.

（2）根据∠ACB﹦90°、BC＝CD=6、AC=8可得出AB= 10，再根据△ABC的面积 可得CE=4.8，在Rt△BEC中CE＝4.8，BC＝6可得出BE＝3.6，设设CF=x,则FE=4.8-x, BF=x,在Rt△BEF中，BE2+EF2＝BF2＝CF2，即(4.8-x)2+3.62=x2，解方程即可.

试题解析：

（1） 证明：

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB﹦90°

又∵CE⊥AB， 

∴∠CEB﹦90° 

∴∠BCE﹦∠A

又∵C是弧BD的中点，

∴∠CBD﹦∠A 

∴∠BCF﹦∠CBF

∴ CF﹦BF.

（2）∵CD=6，AC=8 ，

∴AB= 10，

∴CE=4.8,

在Rt△BEC中CE＝4.8，BC＝6

∴BE=3.6,

设CF=x,则FE=4.8-x, BF=x,

∴(4.8-x)2+3.62=x2

∴x=