Question

如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ACB=90°，E为AB的中点，连接CE、DE.AC与DE相交于点F.

（1）求证：△ADF∽△CEF；

（2） 若AD=4，AB=6，求的值.

Answer

（1）证明见解析；（2）

【解析】试题分析：（1）由AC平分∠DAB得出∠DAC=∠CAB，再由∠ACB=90°，E为AB的中点得出CE= AE，根据等边对等角和等量代换得出∠ECA=∠EAC=∠DAC，根据对顶角相等得到∠DFA=∠EFC，所以△ADF∽△CEF；

（2）由∠ACB=90°和E为AB的中点得出BC＝CE＝ AB，又因为AB＝6，所以BC＝CE＝3，再由△ADF∽△CEF得出AD：CE=AF：CF，所以AF：CF＝4：3，所以＝.

试题解析：

（1）证明：

∵AC平分∠DAB，

∴∠DAC=∠CAB，

∵∠ACB=90°，E为AB的中点，

∴CE= AE，

∴∠ECA=∠EAC=∠DAC，

∵∠DFA=∠EFC，

∴△ADF∽△CEF，

(2)∵ ∠ACB=90°，E为AB的中点，

∴BC＝CE＝ AB，

又∵AB＝6，

∴BC＝CE＝3

∵△ADF∽△CEF

∴AD：CE=AF：CF，

又∵CE= 3,AD=4，

∴，

∴．