Question

如图，已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为直线x=1，与y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间（包括这两点），下列结论：①当x＞3时，y＜0；②3a+b＜0；③﹣1≤a≤﹣；④4ac﹣b²＞8a；其中正确的结论是（  　）

A. ①②③    B. ①②④    C. ①③④    D. ①②③④

Answer

B

【解析】①由抛物线的对称性可求得抛物线与x轴令一个交点的坐标为(3,0)，当x>3时，y<0，故①正确；

②抛物线开口向下，故a<0，

∵x=−=1，

∴2a+b=0.

∴3a+b=0+a=a<0，故②正确；

③设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x−3),则y=ax²−2ax−3a，

令x=0得：y=−3a.

∵抛物线与y轴的交点B在(0,2)和(0,3)之间，

∴2≤−3a≤3.

解得：−1≤a≤−23，故③正确；

④.∵抛物线y轴的交点B在(0,2)和(0,3)之间，

∴2≤c≤3，

由4ac−b²>8a得：4ac−8a>b²，

∵a<0，

∴c−2<

∴c−2<0

∴c<2，与2≤c≤3矛盾，故④错误。

故选：B.