Question

关于的二次函数y=x²+2kx+k-1，下列说法正确的是（  ）

A. 对任意实数k，函数与x轴都没有交点

B. 存在实数n，满足当时，函数y的值都随x的增大而减小

C. 不存在实数n，满足当时，函数y的值都随x的增大而减小

D. 对任意实数k，抛物线都必定经过唯一定点

Answer

D

【解析】A、∵△=（2k）2﹣4（k﹣1）=4k2﹣4k+4=4（k﹣）2+3＞0，∴抛物线的与x轴都有两个交点，故A错误；B、∵a=1＞0，抛物线的对称轴x=﹣ =﹣k，∴在对称轴的左侧函数y的值都随x的增大而减小，即当x＜k时，函数y的值都随x的增大而减小，当n=﹣k时，当x≥n时，函数y的值都随x的增大而增大，故B错误；C、由对称轴可知，当n=﹣k时，当x≤n时，函数y的值都随x的增大而减小，故C错误； D、令k=1和k=0，得到方程组： ，解得 ，将代入x2+2kx+k﹣1得， ﹣k+k﹣1=﹣ ，与k值无关，不论k取何值，抛物线总是经过一个定点（﹣，﹣），故D正确．故选D．

点睛：本题考查了二次函数的性质，熟悉函数和函数方程的关系、函数的性质是解题的关键．