Question

如图，已知点A(4，0)，O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P，O两点的二次函数y₁和过P，A两点的二次函数y₂的图象开口均向下，它们的顶点分别为B，C，射线OB与AC相交于点D．当OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和为_____．

Answer

【解析】过B作BF⊥OA于F，过D作DE⊥OA于E，过C作CM⊥OA于M，
∵BF⊥OA，DE⊥OA，CM⊥OA，∴BF∥DE∥CM，∵OD=AD=3，DE⊥OA，∴OE=EA= OA=2，由勾股定理得：DE= ，设P（2x，0），根据二次函数的对称性得出OF=PF=x，∵BF∥DE∥CM，∴△OBF∽△ODE，△ACM∽△ADE，∴ , ，即 , ，解得：BF= ，CM=，∴BF+CM=.

点睛：本题考查了二次函数的最值问题，勾股定理、等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质等，主要考查学生运用性质和定理进行推导和计算的能力，能正确地作辅助线是解题的关键．